一般空间微分几何学

正文

20世纪以来，因受到广义相对论的影响，黎曼几何发展很快，从此产生了以更一般的曲线长度积分为基础的芬斯勒空间，以超曲面的面积积分为基础的嘉当空间,以二阶微分方程组为基础的道路空间和K展空间等等，而这些通称一般空间。

芬斯勒空间 设M是参考于一系坐标x(i=1,2,…,n)的n维集合，并且它的曲线x=x(t)的“弧长”是按照积分

定义起来的（其中，

ρ>0)。这时，称M为芬斯勒空间。特别是，当

时，得到黎曼空间。P.芬斯勒(1918)在其学位论文中曾经把黎曼空间的一些结果拓广到这个空间来，但是它的微分几何到É.嘉当(1934)才逐渐趋于完整。例如，这个空间仿射联络的确定，曲率论的建立等研究，都是以后才发展起来的。仅仅要指出，芬斯勒空间的测地线（即上列积分的极值曲线）的微分方程具有如下的形式：

式中

是由F(x,凧)确定的某种函式组。

近年来，无限维的芬斯勒流形在非线性分析中有重要作用。

嘉当空间在n维空间里，以(n-1)维超曲面领域的表面积概念为基础而构成的几何，称n维嘉当空间几何。设(x)=( x,x,…，x)表示空间一点的坐标,(u)=(u1,u2,…，un)表示该点切空间的(n-1)维子空间的齐次坐标，(x，u)称为点(x)的超平面素。以B表示超平面素所成的一个区域，採用一个在B是正则的而且取正值的函式L（x,u），这里L关于ui是正齐一次的，L(x,ρu)=ρL(x,u)，(ρ>0)，并约定,在超平面素(x,u)的(n-1)维表面积元素为

为了改写dO,设

是光滑超曲面F的正则参数表示。从(n-1)×n矩阵

删去第k行,而且用(-1)pk表示这样得出的(n-1)阶行列式。那幺,从上列的约定便导出一个在有向超曲面F的区域上的(n-1)重积分

它表示了这个区域的“(n-1)维表面积”。

从基本函式 L（x，u）作

且令α＝det|α|，嘉当的测度张量可表成

这样，这种空间微分几何便有了发展的基础，特别重要的是研究面积积分的第一和第二变分，以及极值离差理论，即能保持极值超曲面的无穷小变形的方程。

K展空间设在N 维空间SN里给定了一组K 维流形，使得组中有一个且仅有一个流形通过一般位置下的任何K+1个邻近点，或者和任何一个已知的K维元素（按照一点和其衔接的K维平坦流形组成的元素）相切。这些K维流形简称K展,具有这种结构的N维空间SN称K展空间。特别是，当K=1时，SN就是道路空间。

设(x;i=1,2,…,N)是SN的一点的坐标,那幺每个K展可表成

或简写为

,式中各函式是变数u和参数α的解析函式（或充分光滑的函式）。从定义易知

如果由K展的表达式消去参数α,便获得仿射K展空间的偏微分方程组

式中函式

是p的齐二次函式。

根据J.道格拉斯导进一个仿射联络到仿射 K展空间SN：

从而把上列偏微分方程组改写成

。

从这个仿射联络

不但可以导出仿射曲率张量

,还可作出射影联络以及有关的偏微分方程组的可积分条件，还可证明；嘉当的“平面公理”的成立与空间为射影平坦是等价的。

参考书目

苏步青着：《一般空间的微分几何学》，科学出版社，北京，1958。