基本简介
所谓三角函式诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函式转化为角α的三角函式。
常用公式
公式一
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函式的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα k∈z
cos（2kπ+α）=cosα k∈z
tan（2kπ+α）=tanα k∈z
cot（2kπ+α）=cotα k∈z
公式二
设α为任意角，π+α的三角函式值与α的三角函式值之间的关系：
sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
公式三
任意角α与-α的三角函式值之间的关系：
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函式值之间的关系：
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
公式五
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函式值之间的关系：
sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
公式六
π/2±α与α的三角函式值之间的关系：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
推算公式
3π/2±α与α的三角函式值之间的关系：
sin（3π/2+α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
cot（3π/2+α）=－tanα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
诱导公式记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”
口诀解析：“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函式的名称的变化与否（“变”是指正弦变余弦、余弦变正弦、正切变余切、余切变正切、正割变余割、余割变正割）。“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看k·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
任意一个角都可以表示为的形式。当把任意角化为形如k·(π/2)±α的式子后，利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”，就能把任意角转化到之间。
①“奇”与“偶”：是指把任意角转化之后的k·(π/2)±α形式中的系数k的奇偶性，即确定系数k是奇数还是偶数；
②“变”与“不变”：是指三角函式的名称改变与否，即若变，则正弦变余弦、余弦变正弦、正切变余切、余切变正切，正割变余割、余割变正割。
综合①②，“奇变偶不变”是说，把任意角化为k·(π/2)±α的形式后，若k是奇数则三角函式名称改变，若k是偶数则三角函式名称不改变。
③“象限”：是指把任意角k·(π/2)±α所在的象限。
④“符号”：是指在确定所在的象限后，相应的原三角函式值的符号（如图）。
判断口诀
“一全正；二正弦；三双切；三正切，四余弦。这十五字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函式值都为“+”； 第二象限内只有正弦为“+”，其余全部为“－”； 第三象限内只有正切和余切为“+”，其余全部为“－”； 第四象限内只有余弦为“+”，其余全部为“－”。
“ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所佔的象限对应的三角函式为正值。
基本关系
倒数的关系
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
tanα ·cotα=1
商的关系
tanα=sinα/cosα=secα/cscα(cosα≠0,cscα≠0)
cotα=cosα/sinα=cscα/secα(sinα≠0,secα≠0)
平方的关系
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
记忆方法
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
总结：奇变偶不变，符号看象限
倒数关系
对角线上两个函式互为倒数；
商数关系
六边形任意一顶点上的函式值等于与它相邻的两个顶点上函式值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函式值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。
平方关系
在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函式值的平方和等于下面顶点上的三角函式值的平方。
两角和差公式
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanαtanβ)
tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanαtanβ)
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)－1=1－2sin^2(α)
tan2α=2tanα/[1－tan^2(α)]
半角的正弦、余弦和正切公式
sin^2(α/2)=(1－cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1－cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1－cosα)/sinα
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1－tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=[2tan(α/2)]/[1－tan^2(α/2)]
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)－3cosα
tan3α=[3tanα－tan^3(α)]/[1－3tan^2(α)]
三角函式的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2] ·cos[(α－β)/2]
sinα－sinβ=2cos[(α+β)/2] ·sin[(α－β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α－β)/2]
cosα－cosβ=－2sin[(α+β)/2]·sin[(α－β)/2]
三角函式的积化和差公式
sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α－β)]
cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)－sin(α－β)]
cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α－β)]
sinα·sinβ=－ 0.5[cos(α+β)－cos(α－β)]
推导过程
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[(cos^2(α)+sin^2(α)]......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan^2(α)]
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=[2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α)]/[cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα]
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α=[3tanα－tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+[1－2sin^2(α)]sinα
=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)
=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα
=[2cos^2(α)－1]cosα－2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)－cosα+[2cosα－2cos^3(α)]
=4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)－3cosα
和差化积公式推导
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2
cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2
sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那麽a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]
sinx-siny=2cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]
cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]
