三角形中线定理

​中线定义

三角形中，连线一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。

任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点

由定义可知，三角形的中线是一条线段。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

性质

设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c.

三角形的三条中线长:

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ma=(1/2)√2b²+2c²-a² ;

................______________

mb=(1/2)√2c²+2a²-b² ;

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mc=(1/2)√2a²+2b²-c² 。

(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长)

三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.

中线定理

中线定理(pappus定理)，又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

定理内容:三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系:

AB²+AC²=2(BI²+AI²)

或作AB²+AC²=1/2(BC)²+2AI²

定理证明

除图示给出的方法外，c1c2clone在此给出另外的两种常规证明方法:

第一种

是以中点为原点，在水準和竖直方向建立坐标系，

设:A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，

则:(AD)²+(CD)²=m²+n²+a²

(AB)²+(AC)²=(m+a)²+n²+(m-a)²+n²=2(m²+a²+n²)

∴(AB)²+(AC)²=2[(AD)²+(CD)²]

第二种

是在不同三角形中，对同一个角用两次余弦定理，比如对图示中的∠B(或者∠C)在△ABD和△ABC(或者△ACD和△ABC)使用余弦定理，从而直接得到三角形边长的关系，进而得证。

推论

在以上讨论中，还可以得到 |AB²-AC²|=2BC×IH