严格递增函式
定义1
递增(increasing)函式是指当函式的任何自变数增加的时候，函式值不减少。严格递增(strongly increasing)是指当函式任何自变数增加的时候，函式值也增加。类似地，递减函式(decreasing)是指当函式的任何自变数增加的时候函式值不增加，严格递减(strongly decreasing)是指当函式任何自变数增加的时候函式值却减少。定义2
设
为偏序集， ，如果对任意的 ，都有 ，则称 为单调递增的；如果对任意的 ，都有 ，则称 为严格单调递增的。类似的，也可以定义单调递减和严格单调递减的函式。
举例分析
例1 单调递增函式的一些例子：
(1)
是严格单调递增的；(2)偏序集
，其中， 为包含关係，≤为一般的小于或等于关係。令 是单调递增的，但不是严格单调递增的。严格递增数列
对于一个实数列
，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即有 ，这样的实数列叫做递增数列，也叫做上升数列；或说这一数列单调增加．如果每一项都大于它的前一项，即
，则把这样的实数列叫做严格递增数列；或说这一数列严格递增或严格单调增加．对于一个实数列
，如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即有 ，这样的实数列叫做递减数列，也叫做下降数列，或说这一数列单调减少。如果每一项都小于它的前一项，即
，则把这样的实数列叫做严格递减数列；或说这一数列严格递减或严格单调减少．相关结论
一个严格递增的连续函式，它不处处可微。
下面的例子是由Pringsheim作出的，令
易见， 在 上连续，因为当x≠0时， 所以 在 和 内都是严恪递增的，又当x>0时， ，而当x<0时， ，可见 在 内也是严格递增的，但由于 不存在，因而 在x=0处不可微。注意:有人或许会猜测，严格单调函式的不可微的点都是一些间断点，上述反例说明了这种猜测是不正确的。
