基本介绍
公比是对于等比数列这一特殊数列而言的,它是指在等比数列中后一项与前一项的商。
公式符号
等比数列的符号与公式 等比数列的符号为:q;公式为:an÷an-1
等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
公比（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变数n的函式，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n(即A-Aq^n)
(前提：q不等于1)
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq·ap=ar*2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
编辑本段性质
①若m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq；
②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则
（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…
（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5)等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函式y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函式的性质来研究等比数列。
编辑本段等比数列的套用
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式——复利。
即把前一期的利息和本金价加在一起算作本金，
在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
等比数列
众所周知，公比q笋1的等比数列的有些性质对于公比叮二1的等比数列不适用，前。项和公式就是例证.同样，公比q并一1的等比数列的有些性质对于公比q=一1的等比数列
也不适用.因此在解决等比数列问题时，不可忽视q=1及q=一1的等比数列.
先看下面的命题:
若{a。}是等比数列，鼠，是其前n项和，则
S、，52、一S、，53、一52、，…，氏、一S(。一1)、，
一是等比数列.
很多书刊都视它为真命题，其实这个命题
是一个假命题.现举反例如下:若{a。}是公比
为一1的等比数列，月_无为偶数时，S、=头、一
战=凡、一孔、二••一Snk一s(二一l)*=
…=0
.
…凡，凡k一从，凡、一头、，…。氏、一
s(。一1)k，…不是等比数列.
当然，在q并一1或q=一1且k是奇数
时，都能得出数列熟，头、一战，孔、一凡k，…，
sn、一s(。一1)*，…是等比数列.
同样我们可以说明命题:
若{a。}是等比数列，则。1+aZ，a:+a3，
a3+a4，…，a。+a。+1，一是等比数列.
是假命题. 下面再举两例，说明公比为一1的等比数列
中公比所起的作用.
例1{晰;}是实数构成的等比数列，氏=
内+“2十…十a。，则数列{氏}中.
(A)任一项均不为0;(B)必有一项为氏
(C)至多有有限项为。;
(D)或无一项为0，或无数项为0.
分析若能想到公比为一1的等比数列，立
即可排除(A)、(C).再取等比数列1，2，…，
2“一‘，…便可排除(B).…应选(D).
例2求和氏二一1十2一…+(一1)叭几
分析很多课外书上都用并项法求解，需
对二分类讨论，若注意到数列{(一1)“。}就是等
差数列{二}与公比为一1的等比数列{(一1)”}
的对应项的积组成的数列，则可用错项相减法
求解，避免了分类讨论，使解题过程简化.
解氏二一1+2一3+…+(一1户几
一氏=1一2+…+(一l)叹。一l)+
(一1)“十‘。，
两式相减，得
2氏=一1+1一1+…+(一1)几一(一1)几+‘。
一11一(一1)几〕
2
一(一1)“+’。，
:.氏=(2二+1)(一1)几一14
