减函式

单调性

单调性的定义

如果函式y=f(x)在区间D上是增函式或减函式，那么就或函式y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D就叫做函式y=f(x)的单调区间。

单调性的证明

用定义法证明单调性的步骤：

（1）任取x1,x2∈D，且满足x1

（2）作差f(x1)-f(x2)；

（3）变形（通常是因式分解和配方）；

（4）定号（即判断f(x1)-f(x2)的正负）；

（5）下结论（指出函式f(x)在给定的区间D上的单调性）。

在证明函式为减函式时，只需要证明：当x10。在减函式的图像中，函式图像从左往右是下降的，即函式值随自变数的增大而减小。

单调性的判断方法

（1）定义法：即“取值（定义域内）→作差→变形→定号→判断”；

（2）图像法：先作出函式图像，利用图像直观判断函式的单调性；

（3）直接法：就是对于我们所熟悉的函式，如一次函式、二次函式、反比例函式等，直接写出它们的单调区间。

（4）求导法：假定函式f在区间[a,b]上连续且在(a,b)上可微，若每个点x∈(a,b)有f'(x)>0，则f在[a,b]上是递增的；若每个点x∈(a,b)有f'(x)<0，则f在[a,b]上是递减的。

注意事项

（1）函式的单调性是对函式定义域内的某个子区间而言的，是函式的局部性质；

（2）函式f(x)在给定区间上的单调性是函式在该区间上的整体性质；

（3）函式的单调性定义中x1,x2有三个特徵：任意性、有大小、属于同一个单调区间；

（4）求函式的单调区间，必须先求定义域。

（5）区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函式值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点。

性质

（1）增函式+增函式=增函式；

（2）减函式+减函式=减函式；

（3）增函式-减函式=增函式；

（4）减函式-增函式=减函式。

实例

判断函式y=-x^3的单调性。

解：易得该函式是整函式，故定义域为R。

（1）利用定义法来判断该函式的单调性。

任取x1,x2∈R，且满足x1

最终两个因式中第一个因式小于零，第二个因式恆大于零，且两因式前有一个负号，故有f(x1)-f(x2)>0，即有：当x1-x2<0时，有f(x1)-f(x2)>0，故该函式在R上为减函式。

（2）利用图像法来判断。

对于常见函式y=x^3的图像，如右图所示，易得该函式图像从左往右看是上升的趋势，故该函式在定义域R上为增函式。而函式y=-x^3与y=x^3相差一个负号，在图象表示为关于x轴对称，故易得函式y=-x^3的图像从左往右看是下降的趋势，因此函式y=-x^3在定义域R上为一个减函式。

（3）利用求导法来判断。

对函式进行求导，得