定义
设A和B是两个给定的集合， 是从集合A到集合B的一个二元关係。如果这个二元关係还满足下面的性质：对每个元素 ，存在唯一的元素 ，使得二元序偶 ，就称这个二元关係是从集合A到集合B的一个函式或者映射。记作 或者 也可改写为 ，其中y称为x的象，而x则称为y的原象。称集合A是函式的定义域，集合A中所有元素在函式 的作用下得到的所有象的集合称为函式 的象或函式 的值域。为了进一步区分不同特性的函式，给出细分的定义。
设
是从集合A到集合B的一个函式。(1)如果
，则称函式 是从集合A到集合B的一个单射。(2)如果
，则称函式 是从集合A到集合B的一个满射。(3)如果函式
既是从集合A到集合B的一个单射．又是从集合A到集合B的一个满射，则称它是从集合A到集合B的一个双射。注意点
关于函式定义的几点说明：
(1)如果
是从集合A到集合B的一个函式，那么集合A中每个元素必须都有象，且象必须唯一。(2)如果
是从集合A到集合B的一个函式．那么集合B中每个元素不一定都有原象，且当有原象时，原象也不一定唯一。(3)根据函式的定义可知，两个函式是否相等。需要看：二者的定义域是否相同；对于定义域内的每一个元素．它在这两个函式作用下的象是否恆相同。
函式关係的建立
方法步骤
对于实际问题，明确其中各种量及量之间的关係，建立正确的函式关係十分重要。在建立函式关係时，首先要确定问题中的自变数与因变数，再根据它们之间的关係列出等式，得出函式关係式，然后确定函式定义域，确定定义域时，不仅要考虑到函式关係的解析式，还要考虑到变数在实际问题中的含义。
建立函式关係的基本步骤：
①明确问题中的因变数与自变数，并以适当记号表示；
②寻找等量关係，建立函式关係；
③确定函式的定义域。
举例说明
下面举例说明如何建立函式关係。
例1 某商场销售某种商品8000件，每件原价70元，当销售量在5000件以内(包含5000件)时，按照原价出售，超过5000件部分，打八折销售。试建立总销售收入与销售量之问的函式关係。
解：设销售量为x件，总销售收入为R元，总销售收人与销售量之间的函式关係为
例2 某工厂生产某种型号的车床，年产量为a台，分若干批次进行生产，每批次的生产準备费为b元，设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半，设每年每台库存费为c元，显然，生产批量大则库存费高；生产批量少则批数增多，因而生产準备费高，为了选择最优批量，试求出一年中库存费与生产準备费的和与批量之问的关係。
解：设批量为x，库存费与生产準备费的和为P(x)，因年产量为a，所以每年生产的批数为
(设其为整数)，则生产準备费为 ，因库存量为a，故库存费为 ，因此可得 定义域为(0，a]，因本题中的x为车床的台数，批数 为整数，所以x只应取(0，a]中的a的正整数因子。例3 某牧场要建造占地100m2的矩形围墙，现有一排长20m的旧墙可供利用，为了节约投资，矩形围墙的一边直接用旧墙修，另外三边儘量用拆去的旧墙改建，不足部分用购置的新砖新建，已知整修1m旧墙需24元，拆去1m旧墙改建成1m新墙需100元，建造1m新墙需200元，设旧墙所保留的部分用x表示，整个投资用y表示，将y表示为x的函式。
解：整个投资的费用包括整修旧墙的费用、拆旧改新的费用以及建造新墙的费用，所以所求函式关係为
例4 某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度将电价降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h)，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例係数为k)，该地区的电力成本为0.3元/(kW·h)，写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函式关係式。
解：收益=实际用电量×(实际电价-成本价)。
所以所求函式关係式为
几类常见的函式关係模型
一次函式模型
(为常数，).反比例函式模型
(为常数，).二次函式模型
(为常数，).指数型函式模型
(为常数，，).对数型函式模型
(为常数，，).幂型函式模型
(为常数，).函式关係与相关关係的区分
相关关係的定义
当变数X取某个值时，变数Y的取值可能有若干个，这些数值表现为一定的波动性，但总是围绕着它们的平均数，并遵循一定的规律变动。变数之间存在的这种不确定的数量关係称为相关关係。特点：Y与X的值不一一对应；Y与X的关係不能用函式式严格表达，但有规律可循。
例如：父亲身高Y与子女身高X之间的关係；收入水平Y与受教育程度X之间的关係；粮食亩产量Y与施肥量X1、降雨量X2、温度X3之间的关係；商品的消费量Y与居民收入X之间的关係；商品销售额Y与广告费支出X之间的关係。
二者的的区分
区分相关关係与函式关係的依据全凭因变数取值的确定性：若因变数的取值是确定的、唯一的，则两个变数之间的关係称为函式关係；若因变数的取值是不确定的，则两个变数之间的关係称为相关关係。
例5 试判定下列变数之间属于函式关係，还是相关关係。
(1)圆面积与圆半径 (2)价格确定下商品的销售额与销售量
(3)人们的身高与体重 (4)商品广告费支出与销售额
(5)家庭月收入与月支出 (6)施肥量与亩产量
(7)文化程度与年收入 (8)图书印数与图书价格
(9)商品销售额与商品流通费用率 (10)可变销售价格与商品销售额
解：按照函式关係和相关关係的定义与区别，本例中，第(1)、第(2)为函式关係，其余均为相关关係。
注意：变数之间的函式关係和相关关係在一定条件下是可以相互转化的。本来具有函式关係的变数，在存在观测误差时，其函式关係往往以相关的形式表现出来。而具有相关关係的变数之间的联繫，如果对其有深刻的规律性认识，并且能够把影响因变数变化的因素全部纳入方程，这时相关关係也可能转化为函式关係。另外，相关关係也具有某种变动规律性，所以，相关关係经常可以用一定的函式形式去近似地描述。客观现象的函式关係可以用数学分析的方法研究，而研究客观现象的相关关係，则必须藉助于统计学中的相关与回归分析方法。
