函式图像

几何与方程论

点集{(x，y)丨y=x}叫做函式y=x的图象

一次函式

自变数x和因变数y有如下关係：

y=kx+b（k，b为常数，k≠0）

则称y是x的一次函式。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函式。

若两个变数x，y间的关係式可以表示为y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函式（x为自变数，y为因变数）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函式。

图象性质

1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）算出该函式图象与Y轴和X轴的交点的坐标（2）描点；（3）连线，可以作出一次函式的图象——一条直线。

2． 性质：在一次函式上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

3． k，b与函式图象所在象限。

当k>0时，直线必通过一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小；

当b>0时，直线必通过一、二象限；当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函式的图象。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四 象限。

4. （1) 函式关係中自变数可取值的集合叫做函式的定义域。求用解析式表示的函式的定义域，就是求使函式各个组成部分有意义的集合的交集，对实际问题中函式关係定义域，还需要考虑实际问题的条件。 (2)值域与定义域内的所有x值对应的函式值形成的集合，叫做函式的值域。（3)单调性定义：对于给定区间上的函式f(x)。

例题

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函式的表达式。 （1）设一次函式的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。如果b=0，则函式解析式为y=kx,所以说正比例函式是特殊的一次函式。 （2）因为在一次函式上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程： y1=kx1+b① 和y2=kx2+b②。 （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函式的表达式。 （5）在y=kx+b中,使x,y分别等于0，可求出两个坐标系必定经过的两点(0,b)和(-b/k,0)。

套用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函式。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函式。设水池中原有水量S。g=S-ft。

分类

反比例函式

形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函式，叫做反比例函式。

自变数x的取值範围是不等于0的一切实数。

反比例函式的图象为双曲线。

如图，上面给出了x分别为正和负（2和-2), k=4 时的函式图象。

双钩函式

函式f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)叫做双钩函式。

该函式是奇函式，图象关于原点对称。位于第一、三象限。

当x>0时，由基本不等式可得：y ≥2√ab

若且唯若ax=b/x,即x=√(b/a)时取等号。

故其顶点坐标为(√(b/a)，2√ab)，图象在(0，√(b/a))上是单调递减的，在(√(b/a)，+∝)上是单调递增

同理：当x<0时，由基本不等式可得：y≤-2√ab

若且唯若ax=b/x,即x=-√(b/a)时取等号。

故其顶点坐标为(-√(b/a)，-2√ab)，

图象在(-∝，-√(b/a))上是单调递增，

在(-√(b/a)，0)上是单调递减的。

当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况

通常，作图时，x看做0。代入得y，也就是纵轴坐标(0，y)

有时，通过平移，把形如y=(ax+b)/(cx+d)也看成反比例函式。

特殊位置关係

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函式解析式中K值（即一次项係数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函式解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

二次函式

一般地，自变数x和因变数y之间存在如下关係：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函式的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函式。二次函式表达式的右边通常为二次三项式。

表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x 2) [仅限于与x轴有交点A（x1 ，0）和 B（x2，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关係:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x1,x2=(-b±√b^2-4ac)/2a

图象

在平面直角坐标系中作出二次函式y=x^2的图象，可以看出，二次函式的图象是一条抛物线。

性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项係数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项係数b和二次项係数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b方-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ= b方-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ= b方-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

位置关係

二次函式y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴y=ax^2 (0，0) x=0y=a(x-h)^2 (h，0) x=hy=a(x-h)^2+k (h，k) x=hy=ax^2+bx+c (-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)． 3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小． 4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1| 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a． 顶点的横坐标，是取得最值时的自变数值，顶点的纵坐标，是最值的取值．