函式-定义-中文百科全书

基本介绍

函式是数学中的一个基本概念，也是代数学裏面最重要的概念之一。

函式定义

在某变化过程中有两个变数x,y，按照某个对应法则，对于给定的x，有唯一确定的值y与之对应，那麽y就叫做x的函式。其中x叫自变数，y叫因变数。

在一个变化过程中，发生变化的量叫变数，有些数值是不随变数而改变的，我们称它们为常量。

自变数，函式一个与它量有关联的变数，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变数(函式)，随着自变数的变化而变化，且自变数取唯一值时，因变数(函式)有且只有唯一值与其相对应。

函式值，在y是x的函式中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函式值。

现代定义

一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那麽从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函式。记作：x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函式的定义域，记为D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，记为C。定义域，值域，对应法则称为函式的三要素。一般书写为y=f(x),x∈D.若省略定义域，则指使函式有意义的一切实数所组成的集合。

简单来说：是两个变数的对应关系。注意①两个变数②一个自变数只对一个函式值。

对应的定义

一般地，给定非空数集A,B，从集合A到集合B的一个对应，叫做从集合A到集合B的一个函式。

向量函式：自变数是向量的函式叫向量函式 f（a1.a2，a3......an）=y

对应定义

设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那麽，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的对应(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在对应f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于对应f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。

则有：定义在非空数集之间的对应称为函式。（函式的自变数是一种特殊的原象，因变数是特殊的象）

几何含义

函式与不等式和方程存在联系（初等函式）。令函式值等于零，从几何角度看，对应的自变数的值就是图象与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变数是方程的解。另外，把函式的表达式（无表达式的函式除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函式就变成了不等式，可以求自变数的範围。

函式的集合论

如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得∈f，则称f为X到Y的函式，记做：f:X→Y。

当X=X1×…×Xn时，称f为n元函式。

其特点：

前域和定义域重合

单值性：∈f∧∈f →y=y’

发展历史

早期函式概念

十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函式或称为变数关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函式的关系。1637年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变数对另一个变数的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函式概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函式的一般意义，大部分函式是被当作曲线来研究的。

1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函式）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变数间的关系。

十八世纪函式概念

1718年约翰·柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函式概念的基础上对函式概念进行了定义：“由任一变数和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变数x和常量构成的式子都叫做x的函式，并强调函式要用公式来表示。 1748年，柏努利的学生欧拉在《无穷分析引论》一书中说：“一个变数的函式是由该变数的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。

1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函式定义为“如果某些变数，以某一种方式依赖于另一些变数，即当后面这些变数变化时，前面这些变数也随着变化，我们把前面的变数称为后面变数的函式。”

18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783)给出了定义：“一个变数的函式是由这个变数和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰·贝努利给出的函式定义称为解析函式，并进一步把它区分为代数函式和超越函式，还考虑了“随意函式”。不难看出，欧拉给出的函式定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

十九世纪函式概念

1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变数起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变数，其他各变数叫做函式。”在柯西的定义中，首先出现了自变数一词，同时指出对函式来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函式关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。

1822年傅裏叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函式也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函式概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函式的认识又推进了一个新层次。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德国，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函式概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那麽y叫做x的函式。”这个定义避免了函式定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函式定义。

等到康托(Cantor，德国，1845－1918)创立的集合论在数学中佔有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函式定义，通过集合概念把函式的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变数是数”的极限，变数可以是数，也可以是其它对象。

现代函式概念

1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函式，其避开了意义不明确的“变数”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。

1930 年新的现代函式定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函式，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”

函式图象

函式f的图象是平面上点对（x,f（x））的集合，其中x取定义域上所有成员的。函式图象可以帮助理解证明一些定理。

如果X和Y都是连续的线，则函式的图象有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函式f等于其图象。

当k<0时，直线为升，过一三象限或向上平移，向下平移象限；当k>0时，直线为降，过二四象限，向上或向下平移象限。

函式性质

函式的有界性

设函式f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任一x∈X都成立，则称函式f(x)在X上有上界，而K1称为函式f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)≥K2对任一x∈X都成立，则称函式f(x)在X上有下界，而K2称为函式f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f(x)|<=M对任一x∈X都成立，则称函式f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函式f(x)在X上无界。

函式f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。

函式的单调性

设函式f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f(x2)，则称函式f(x)在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函式统称为单调函式。

函式的奇偶性

设f(x)为一个实变数实值函式，则f为奇函式若下列的方程对所有实数x都成立：

f(x) = f( - x) 或f( -x) = - f(x) 几何上，一个奇函式与原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。

奇函式的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。

设f(x)为一实变数实值函式，则f为偶函式若下列的方程对所有实数x都成立：

f(x) = f( - x) 几何上，一个偶函式会对y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。

偶函式的例子有|x|、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。

偶函式不可能是个双射对应。

函式的周期性

设函式f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恆成立，则称f(x)为周期函式，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函式的周期是指最小正周期。周期函式的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函式不具周期性。

并非每个周期函式都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函式。

函式的连续性

在数学中，连续是函式的一种属性。直观上来说，连续的函式就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函式。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函式被称为是不连续的函式（或者说具有不连续性）。

设f是一个从实数集的子集射到的函式：。f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：

f在点c上有定义。c是中的一个聚点，并且无论自变数x在中以什麽方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函式到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函式在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。

不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函式的连续性。

仍然考虑函式。假设c是f的定义域中的元素。函式f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：

对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的，只要x满足c - δ< x < c + δ，就有成立。

函式的凹凸性

设函式f(x)在I上连续。如果对于I上的两点x1≠x2，恆有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2）那麽称f(x)是区间I上的(严格)凸函式；如果恆有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2）那麽称f(x)是区间上的(严格)凹函式。一些资料中常常仅定义凹函式，凸函式则称上凹函式，凹函式则称下凹函式。

实函式或者虚函式

实函式（Real function）是指定义域和值域均为实数域的函式。它的特徵之一是一般可以在坐标上画出图形。

虚函式是面向对象程式设计中的一个重要的概念。当从父类中继承的时候，虚函式和被继承的函式具有相同的签名。但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。虚函式是面向对象编程实现多态的基本手段。

分类介绍

定义域、对应域和值域

输入值的集合 X 被称为 f 的定义域；可能的输出值的集合Y 被称为f的值域。函式的值域是指定义域中全部元素通过对应 f 得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函式的值域是函式的对应域的子集。

电脑科学中，参数和返回值的资料类型分别确定了子程式的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函式一开始就确定的强製进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。

单射、满射与双射函式

单射函式，将不同的变数对应到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x 不等于 y时有f（x）不等于 f（y）。

满射函式，其值域即为其对映域。即：对对应f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）= y。

双射函式，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函式经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。

象和原象

元素x∈X在f的象就是f（x），他们所取的式值为0。

子集A?X在f的象是以其元素的象组成Y的子集，即f(x)

反函式

一般地，设函式y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函式中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那麽，x= f(y)就表示y是自变数，x是自变数y的函式，这样的函式x= f(y)(y∈C)叫做函式y=f(x)(x∈A)的反函式，记作x=f^-1(y).。反函式y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函式y=f(x)的值域、定义域。

说明：

⑴在函式x=f^-1(y)中，y是自变数，x是函式，但习惯上，我们一般用x表示自变数，用y 表示函式，为此我们常常对调函式x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函式y=f(x)的反函式都採用这种经过改写的形式。。

⑵反函式也是函式，因为它符合函式的定义。从反函式的定义可知，对于任意一个函式y=f(x)来说，不一定有反函式，若函式y=f(x)有反函式y=f^-1(x)，那麽函式y=f^-1(x)的反函式就是y=f(x)，这就是说，函式y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函式。

⑶从对应的定义可知，函式y=f(x)是定义域A到值域C的对应，而它的反函式y=f^-1(x)是集合C到集合A的对应，因此，函式y=f(x)的定义域正好是它的反函式y=f^-1(x)的值域；函式y=f(x)的值域正好是它的反函式y=f^-1(x)的定义域（如下表）：

函式y=f(x) 反函式y=f^-1(x)

定义域A C

值域 C A

⑷上述定义用“逆”对应概念可叙述为：

若确定函式y=f(x)的对应f是函式的定义域到值域“上”的“一一对应”，那麽由f的“逆”对应f^-1所确定的函式x=f^-1(x)就叫做函式y=f(x)的反函式. 反函式x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函式y=f(x)的值域、定义域。

开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函式就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函式为：f^-1(x)=x/2-3。

有时是反函式需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函式的反函式的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

反函式的套用：

直接求函式的值域困难时，可以通过求其原函式的定义域来确定原函式的值域，求反函式的步骤是这样的：

1．先求出原函式的值域，因为原函式的值域就是反函式的定义域

（我们知道函式的三要素是定义域，值域，对应法则，所以先求反函式的定义域是求反函式的第一步）

2．反解x，也就是用y来表示x

3．改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x

4．写出反函式及其定义域

就关系而言，一般是双向的，函式也如此，设y=f（x）为已知的函式，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）=y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函式，记为x=f -1（y）。则f -1为f的反函式。习惯上用x表示自变数，故这个函式仍记为y=f -1（x），例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函式。在同一坐标系中，y=f（x）与y=f -1（x）的图形关于直线y=x对称。

隐函式

若能由方程F（x，y）=0 确定y为x的函式y=f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函式。有些隐函式能表示为显函式（y=f(x)的形式），有些则不能。

如：sin（x+y）=0；x^2+y^2-25=0 等等

注意：此处为方程F（x,y ）= 0 并非函式。

思考：隐函式是否为函式？

不是，因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”。

多元函式

设有非空数集G、U，点（x1，x2，…，xn） ∈G，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函式，G为定义域，U为值域。

基本初等函式及其图象幂函式、指数函式、对数函式、三角函式、反三角函式称为基本初等函式。

①幂函式：y=x^μ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，+∞）；μ=α(a为整数)，当α是奇数时为（－∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的复合函式进行讨论。

②指数函式：y=a^x（a>0 ，a≠1），定义域为（－∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>1 时是严格单调增加的函式（即当x2>x1时，），0③对数函式：y=logax（a>0），称a为底，定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞）。a>1 时是严格单调增加的，0

以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。

④三角函式：见表2。

正弦函式、余弦函式如图6，图7所示。

⑤反三角函式：见表3。双曲正、余弦如图8。

⑥双曲函式：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex+e-x），双曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x），双曲余切（ ex+e-x）/（ex－e-x）。

电脑函式

函式过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作——通常是处理文本，控製输入或计算数值。通过在程式代码中引入函式名称和所需的参数，可在该程式中执行（或称调用）该函式。

类似过程，不过函式一般都有一个返回值。它们都可在自己结构裏面调用自己，称为递归。

大多数程式语言构建函式的方法裏都含有Function关键字（或称保留字）。

与数学上的函式类似，函式多用于一个等式，如y=f(x)（f由使用者自己定义）。

程式设计中的函式

许多程式语言中，可以将一段经常需要使用的代码封装起来，在需要使用时可以直接调用，这就是程式中的函式。比如在C语言中：

int max(int x,int y)

{

return(x>y?x:y;);

}

就是一段比较两数大小的函式，函式有参数与返回值。C++程式设计中的函式可以分为两类：带参数的函式和不带参数的函式。这两种参数的声明、定义也不一样。

带有（一个）参数的函式的声明：

类型名标示符+函式名+（类型标示符+参数）

{

// 程式代码

}

没有返回值且不带参数的函式的声明：

void+函式名（）

{

// 程式代码

}

花括弧内为函式体。

如果没有返回值类型名为"void", int 类型返回值为int,以此类推……

类型名有：void int long float int* long* float* ……

C++中函式的调用：函式必须声明后才可以被调用。调用格式为：函式名（实参）

调用时函式名后的小括弧中的实参必须和声明函式时的函式括弧中的形参个数相同。

有返回值的函式可以进行计算，也可以做为右值进行赋值。

#include

using namespace std;

int f1(int x, int y)

{int z;

return x+y;

}

void main()

{cout<

}　　

C语言中的部分函式

main（主函式）

max（求最大数的函式）

canf（输入函式）

rintf（输出函式）

gets (标準输入流函式)

C语言中的库函式

C语言为了方便使用者编写程式，为使用者开发了大量的库函式，其定义在.h档案中，使用者可以调用这些函式实现强大的功能。所以对于使用者来说，掌握这些函式的用法是提高编程水準的关键。

复合函式

设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化，因此变数x与y之间通过变数μ形成的一种函式关系，记为

y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函式，其中x称为自变数，μ为中间变数，y为因变数(即函式)

生成条件

任何两个函式都可以复合成一个复合函式，只有当μ=φ(x)的值域Zφ和y=f(μ)的定义域Df的交集不为空集时，二者才可以复合成一个复合函式。

定义域

若函式y=f(u)的定义域是B﹐函式u=g(x)的定义域是A﹐则复合函式y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}

周期性

设y=f(x),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）

周期函式性质：　　

（1）若T（T≠0）是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期。

（2）若T（T≠0）是f(x)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(x)的周期。

（3）若T1与T2都是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x)的周期。

（4）若f(x)有最小正周期T*，那麽f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分别是f(x)的两个周期，则T1、T2∈Q（Q是有理数集）

（6）若T1、T2是f(x)的两个周期，且 T *是无理数，则f(x)不存在最小正周期。

（7）周期函式f(x)的定义域M必定是双方无界的集合。　

增减性

依y=f(x),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”

判断复合函式的单调性的步骤如下：

(1)求复合函式定义域；

(2)将复合函式分解为若干

个常见函式(一次、二次、幂、指、对函式)；

(3)判断每个常见函式的单调性；

(4)将中间

变数的取值範围转化为自变数的取值範围；

(5)求出复合函式的单调性。

例如：讨论函式y=0.8^(x2-4x+3)的单调性。

解：函式定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8^u。

指数函式y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函式，

u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函式，在[2，+∞)上是增函式，

∴函式y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函式，在[2，+∞)上是减函式。

利用复合函式求参数取值範围

求参数的取值範围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。

函式

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