概念
初等函式
初等函式是由幂函式（power function）、指数函式（exponential function）、对数函式（logarithmic function）、三角函式（trigonometric function）、反三角函式（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函式複合所产生，并且能用一个解析式表示的函式。它是最常用的一类函式，包括常函式、幂函式、指数函式、对数函式、三角函式、反三角函式（以上是基本初等函式），以及由这些函式经过有限次四则运算或函式的複合而得的所有函式。即基本初等函式经过有限次的四则运算或有限次的函式複合所构成并可以用一个解析式表出的函式，称为初等函式。
还有一系列双曲函式也是初等函式，如sinh的名称是双曲正弦或超正弦，cosh是双曲余弦或超余弦，tanh是双曲正切，coth是双曲余切，sech是双曲正割，csch是双曲余割。初等函式在其定义区间内一定连续。
一个初等函式，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式。例如 ，三角函式 y=sinx 可以用无穷级数表为y=x-x3/3!+x5/5!-…初等函式是最先被研究的一类函式，它与人类的生产和生活密切相关，并且套用广泛。为了方便，人们编制了各种函式表，如平方表、开方表、对数表、三角函式表等。
有理函式
实係数多项式称为整有理函式。其中最简单的是线性函式 y=α0+α1x，它的图象是过y轴上y=α0点的斜率为α1的直线。二次整有理函式y=α0+α1x+α2x2的图象为抛物线。
两个整有理函式之比为分式有理函式。分式有理函式其中最简单的是反比例函式，其图象为双曲线。整有理函式和分式有理函式统称有理函式。有理函式起源于代数学。
两个复係数的多项式之比为有理函式，它实现扩充的複平面到自身的解析映射。分式线性函式是一个特殊的有理函式，它在複分析中有重要的意义。另一个特殊情形是幂函式w=zn，n 是自然数，它在全平面是解析的。因此当n≥2时，它在全平面除z=0以外到处实现共形映射（保角映射）。它将圆周|z|= r变为圆周|w|=rn，将射线argz=θ变为射线argw=nθ。任何一个区域,只要该区域中任两点的辐角差小于2π/n，它就是w=zn的单叶性区域。幂函式w=zn的反函式为根式函式，它有n个值(k=0，1，…，n-1)，称为它的分支。它们在任何区域θ1z<θ1+2π中都单值解析。
代数函式
求有理函式的反函式则可产生代数函式。如y=xn的反函式为x=yn。超越函式
超越函式指变数之间的关係不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函式。如指数函式、对数函式、反三角函式等就属于超越函式。
常用函式
常函式
对定义域中的一切x对应的函式值都取某个固定常数的函式。
三角函式
三角函式是起源于几何学的最简单的超越函式。
初等三角函式包括正弦函式y=sinx 、余弦函式y=cosx 、正切函式y=tanx、余切函式y=cotx 、正割函式y=secx和余割函式y=cscx。高等分析学中用弧度制计量角度，即以单位圆周上的弧段量度相应的圆心角。
指数函式
形如
的函式，式中a为不等于1的正常数。对数函式
指数函式的反函式，记作
，式中a为不等于1的正常数，定义域是零到正无穷的开区间。指数函式与对数函式之间成立关係式， 。反三角函式
三角函式的反函式 ——反正弦函式y = arcsinx 、反余弦函式 y=arccosx （－1≤x≤1，0≤y≤π）、反正切函式y=arctanx 、反余切函式
等 ， 以上这些函式常统称为基本初等函式。双曲函式
由指数函式经有理运算可导出双曲函式。其性质与三角函式很相似。sinhx、coshx分别称为双曲正弦和双曲余弦。像三角函式一样，由它们导出的双曲正切tanhx=sinhx/coshx和双曲余切cothx=coshx/sinhx等都称为双曲函式。
双曲正弦或超正弦
双曲余弦或超余弦
双曲正切
双曲余切
双曲正割
双曲余割
它们有如下的几何解释，即双曲线x2-y2=1(x>0)上取一点M，又令O为原点，N=(1,0)，将ON，OM和双曲线上的弧所围面积记为θ/2，点M的坐标视为θ的函式，并记为coshθ和sinhθ，即有表示式cosh2θ-sinh2θ=1。
幂函式
形如
的函式，式中a为实常数。一般地，形如
（a为常数）的函式，即以底数为自变数，幂为因变数，指数为常量的函式称为幂函式。例如函式y=x、y=x2、y=1/x（注：y=1/x=x-1）等都是幂函式。在複数域的推广
复变三角函式
例如将y=sinx和y=cosx中变数x换为复变数z，则得到复变三角函式w=sinz和w=cosz，它们是整函式。tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亚纯函式。它们具有实三角函式的很多类似性质：周期性、微商性质、三角恆等式等。但|sinz|≤1，|cosz|≤1不是对任何z都成立。三角函式与指数函式密切联繫，因此套用时很方便。sinz的单叶性区域将Gk单叶并共形地映为全平面上除去实轴上线段[-1，1]和负虚轴后得到的区域；它将Rk单叶并共形地映为全平面除去实轴上两条射线(
,-1]和[1, )后得到的区域。类似地可以指出cosz的单叶性区域。复变指数函式
在指数函式式w=ex中将x换为复变数z，便得到复变指数函式w=ez。复变指数函式有类似于实指数函式的性质：ez是一整函式且对任何複数z，ez≠0；它满足ez1·ez2=ez1+z2；ez以2kπi为周期，ez=ez+2kπi；并且它的导数与本身相同，即 (ez)'=ez。函式w=ez在全平面实现共形映射。任何一个区域，只要对区域内任两点，其虚部之差小于2π，它就是ez的单叶性区域。例如，指数函式把直线x=x0变为圆周，把直线y=y0变为射线argw=y0，因而把区域Sk变为区域0w<2π，把宽度为β的带形区域α0<α0+β(β≤2π)变为开度为β的角形域α0w<α0+β。复变对数函式
对数函式w=lnz是指数函式w=ez的反函式，它有无穷多个值2kπ（k 为整数），称为它的分支。每一个分支在区域θ0z<θ0+ 2π 中是解析的。对数函式把这个区域单叶地变为带形区域θ0w<θ0+2π，也把开度为β的角形域θ0z<θ0+β(β≤2π)变为宽度为β的带形区域θ0w<θ0+β。 像实对数函式一样，它满足lnz1+lnz2=ln(z1·z2)。
复变反三角函式
w=arcsinz，w=arccosz，w=arctanz分别是sinz，cosz和tanz的反函式，并称复变反三角函式。它们能由对数函式合成。它们都是多值函式。
复变双曲函式
将实双曲函式推广到複数域得复变双曲函式。像实双曲函式一样，复变双曲函式能由复变指数函式合成。
复变幂函式
将实幂函式的实变数用複数替换即得复变幂函式。一般来说，它是多值函式。
导数与微积分函式
一般初等函式的导数还是初等函式，但初等函式的不定积分不一定是初等函式。另外初等函式的反函式不一定是初等函式。
