历史发展
古希腊
古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数（如亲和数、完全数、多边形数）及特殊不定方程的研究。公元前4世纪，欧几裏德的《几何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典範。
初等数论已经有2000年的历史，公元前300年，欧几裏得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。后来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成为一个素数产生的公式：
公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：
（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 （三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页） （四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式： N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。(1) 其中p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N （五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示： N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。(2) 例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。 以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。 由于（2）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk範围内有唯一解。 例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。 k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。 k=3时, ---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.| ---------------------|---------|----------|--------|---------| n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----| n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---| ------------------------------------------------------------ 求得了（7，7*）区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。 (六)用程式方法求素数。“若一个自然数N，判断N/n是否整除，先判断其能否整除2，若不能再判断其能否整除3，依次向下判断，当n>(N/n)时，判断结束。”如果所有判断都不能整除，则自然数N为素数。 公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来，费马、L.欧拉、C.F.高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。 中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比欧洲早500年， 西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。它的套用是多方面的，如电脑科学、组合数学、密码学、资讯理论等。如公开密钥体製的提出是数论在密码学中的重要套用。 初等数论有以下几部分内容： 1.整除理论。引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。这一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、欧几裏德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。 2.同余理论。主要出自于高斯的《算术研究》内容。定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。主要成果：二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。 3.连分数理论。引入了连分数概念和演算法等等。特别是研究了整数平方根的连分数展开。主要成果：迴圈连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。 4.不定方程。主要研究了低次代数曲线对应的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了四次费马方程的求解问题等等。 5.数论函式。比如欧拉函式、莫比乌斯变换等等。 6.高斯函式。 费马在古典数论领域中的成果很多，比如提出了不定方程无解证明的无穷递降法，引入了费马数等等。 与费马相关的着名结论如下： 费马小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一个素数，a是正整数。 事实上它是欧拉定理的一个特殊情况，Euler定理是说：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整数，φ(n)是Euler函式，表示和n互素的小于n的正整数的个数。 费马大定理（当时是猜想）：n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家安德鲁·怀尔斯证明了(1995年)，证明的过程相当艰深。 引入欧拉函式，得到着名的欧拉定理——费马小定理推广；研究了连分数展开问题；用解析方法证明了素数无限；讨论平方和问题及哥德巴赫猜想——加性数论内容。 被誉为“数学王子”。解决了正多边形尺规作图问题，将它和费马数联系起来。高斯的着作《算术研究》提出了同余理论，讨论了平方剩余问题，发现了二次互反律。高斯提出了着名的素数定理（当时是猜想），研究了指标和估计问题——表示论的雏形。 高等学校数学教材初等数论（第二版）定 价：￥35.00 作 者：潘承洞，潘承彪 着 出 版 社：北京大学出版社 出版时间：2003-1-1 版 次：2 页 数：592 字 数：520000 印刷时间：2011-1-1 开 本：大32开 纸 张：胶版纸 印 次：9 I S B N：9787301060759 包 装：平装 内容简介 本书自1992年9月出版以来，已发行24000册，深受教师和学生的欢迎。在第二版中，本书作者根据10年来读者和本书编辑提出的宝贵意见，以及在教学实践中的体会，对本书内容做了进一步修改与完善（见第二版说明），使之更适宜于教学需要。 本书是大学初等数论课教材。全书共分九章。内容包括：整除，不定方程，同余，同余方程，指数与原根，连分数，素数分布的初等结果，数论函式等。书中配有较多的习题，书末附有提示与解答。?书积累了作者数十年教学与科研的经验，遵循少而精的原则，精心选材。为便于学生理想，对重点内容多侧面分析，从不同角度进行阐述。 作者简介 潘承洞，数学家，中科院院士。江苏苏州人。着作有《哥德巴赫猜想》（合着）、《阶的估计》等。 目录第二版说明 第一版序 符号说明 第一章 整除 1 自然数与整数 2 整除 3 带余数除法与辗转相除法 4 最大公约数理论 5 算术基本定理（A） 6 算术基本定理（B） 7 符号[X]，n！的分解式 8 容斥原理与3.14……（X）的计算公式 第二章 不定方程（I） 1 一次不定方程 3 X2+Y2=Z2 第三章 同余 1 同余 2 同余类与剩余系 3 （M）的性质与Fermat-Euler定理 4 Wlison 定理 第四章 同余方程 1 同余方程的基本概念 2 一次同余方程 3 一次同余方程组,孙子定理 4 一般同余方程的求解 5 横为素数的二次同余方程 6 Legendre符号,Gauss二次互反律 7 Jacbi符号 8 模为素数的高次同余方程 9 多元同余方程,Chevalley定理 第五章 指数与原根 1 指数 2 原根 3 指标、指?组与既约剩余系的构造 4 二项同余方程 第六章 不定方程（II） …… 第七章 连分数 第八章 素数分布的初等结果 第九章 数论函式 附录一 自然数 附录二 算术基本定理不成立的例子 附录三 初等数论的几个套用 附录四 国际数学奥林匹克竞赛中数论有关的题 习题的提示与解答 古代中国
初等数论
代表人物
费马
欧拉
高斯
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