定义
文字表达:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
数学语言:从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA·LB=LC·LD=LT^2。
几何语言:∵割线LDC和LBA交于圆O于ABCD点
∴LA·LB=LC·LD=LT^2
割线定理如下图所示。(LT为切线)
证明一
已知:如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线
求证:PA·PB=PC·PD
证明:连线AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C
又∵∠P=∠P
∴△ADP∽△CBP (A，A)
∴AP:CP=DP:BP
即AP·BP=CP·DP
证明二
既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得，那麽或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而得。
如图所示。
已知:从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D
求证:AP·BP=CP·DP
证明:连线AC、BD
由圆内接四边形定理得
∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°
又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°(平角的定义)
∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP(同角的补角相等)
∴△ACP∽△DBP(两角对应相等的三角形相似)
∴AP/DP=CP/BP(相似三角形对应边成比例)
∴AP·BP=CP·DP(比例基本性质)
证明三
根据切割线定理求证。
已知:从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D
求证:AP·BP=CP·DP
过点P作圆O的切线，记切点为T
由切割线定理可知:AP·BP=PT^2，CP·DP=PT^2
所以AP·BP=CP·DP
比较
相交弦定理、切割线定理以及它们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。
