定义
函式的单调性（monotonicity）也叫函式的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函式值变化与自变数变化的关係。当函式f(x) 的自变数在其定义区间内增大（或减小）时，函式值也随着增大（或减小），则称该函式为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。在集合论中，在有序集合之间的函式，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。如果说明一个函式在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函式的一个单调区间，则可判断出：
D⊆Q（Q是函式的定义域）。
区间D上，对于函式f(x)，∀（任取值）x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)。或，∀ x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)。
函式图像一定是上升或下降的。
该函式在E⊆D上与D上具有相同的单调性。
注意：函式单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。因此，说单调性时最好指明区间。
有些函式在整个定义域内是单调的；有些函式在定义域内的部分区间上是增函式，在部分区间上是减函式；有些函式是非单调函式，如常数函式。
函式的单调性是函式在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。
在利用导数讨论函式的单调区间时，首先要确定函式的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函式的单调区间。
如果一个函式具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连线，而只能用“逗号”或“和”字隔开。
单调函式
一般地，设一连续函式 f(x) 的定义域为D，则
如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变数的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函式。
相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变数的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)
则增函式和减函式统称单调函式。
性质
图象性质
函式单调性的几何特徵：在单调区间上，增函式的图象是上升的，减函式的图象是下降的。
当x1 < x2时，都有f(x1)
当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2) 。
如上图右所示，对于该特殊函式f(x)，我们不说它是增函式或减函式，但我们可以说它在区间 [x1，x2]上具有单调性。
运算性质
f(x)与f(x)+a具有相同单调性；
f(x)与 g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性，当 a<0 时，具有相反单调性；
当f(x)、g(x)都是增（减）函式时，若两者都恆大于零，则f(x)×g(x)为增（减）函式；若两者都恆小于零，则为减（增）函式；
两个增函式之和仍为增函式；增函式减去减函式为增函式；两个减函式之和仍为减函式；减函式减去增函式为减函式；函式值在区间内同号时， 增（减）函式的倒数为减（增）函式。
判断方法
1、图象观察法
如上所述，在单调区间上，增函式的图象是上升的，减函式的图象是下降的。因此，在某一区间内，一直上升的函式图象对应的函式在该区间单调递增；
一直下降的函式图象对应的函式在该区间单调递减；
注意：对于分段函式，要特别注意。例如，上图左可以说是一个增函式；上图右就不能说是在定义域上的一个增函式（在定义域上不具有单调性）。
2、定义法
根据函式单调性的定义，在这里只阐述用定义证明的几个步骤:
①在区间D上，任取
, ，令 ;②作差
；③对
的结果进行变形处理(通常是配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等等)；④确定符号
的正负；⑤下结论，根据“同增异减”原则，指出函式在区间上的单调性。
3、等价定义法
设函式 的定义域为D，在定义域内任取 , ，且 ，若 >0，则函式单调递增；若有 <0，则函式单调递减(证明从略)，以上是函式单调性的第二定义。4、求导法
导数与函式单调性密切相关。它是研究函式的另一种方法，为其开闢了许多新途径。特别是对于具体函式，利用导数求解函式单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握，利用导数求解函式单调性，要求熟练掌握基本求导公式。
如果函式y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恆有f'(x)>0，则函式y=f(x)在区间D内单调增加；反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函式y=f(x)在区间D内单调减少。
5、複合函式法
在函式y=f[g(x)]的定义域内，令u=g(x)，则y=f[g(x)]的单调性由u=g(x)与y=f(x)的单调性共同确定，方法如下
| u=g(x) | y=f(x) | y=f[g(x)] |
增函式 | 增函式 | 增函式 |
减函式 | 减函式 | 增函式 |
增函式 | 减函式 | 减函式 |
减函式 | 增函式 | 减函式 |
因此，複合函式的单调性可用“同增异减”来判定，但要考虑某些特殊函式的定义域。
注：y=f(x)+g(x)不属于複合函式，因此不在此方法的适用範围内。
套用
利用函式单调性可以解决很多与函式相关的问题。通过对函式的单调性的研究，有助于加深对函式知识的把握和深化，将一些实际问题转化为利用函式的单调性来处理。因此对函式单调性的讨论小仅有重要的理论价值，而且具有很好的套用价值。本文结合一些典型例题分析说明函式单调性的套用，如利用函式的单调性求最值、解方程、证明小等式等。
1、利用函式单调性求最值
求函式的最大(小)值有多种方法，但基本的方法是通过函式的单调性来判定，特别是对于小可导的连续点，开区问或无穷区问内最大(小)值的分析，一般都用单调性来判定。
2利用函式单调性解方程
函式单调性是函式一个非常重要的性质，由于单调函式
中x与y是一对应的，这样我们就可把複杂的方程通过适当变形转化为型如“ ”方程，从而利用函式单调性解方程x=a，使问题化繁为简，而构造单调函式是解决问题的关键。3、利用函式单调性证明不等式
首先，根据小等式的特点，构造一个单调函式；其次，判别此函式在某区问[a,b]上为单调函式；最后，由单调函式的定义得到我们要证明的小等式。
