参数方程

定义

在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函式x=f(t),y=φ(t)--⑴;且对于t的每一个允许值，由方程组⑴所确定的点m(x，y)都在这条曲线上，那麽方程组⑴称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数称为参变数，简称参数。类似地，也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。⑵

圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ(θ∈ [0，2π) ) (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标

椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ(θ∈[0，2π)) a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数

双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数

抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到準线的距离 t为参数

直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过(x',y')，且倾斜角为a,t为参数.

或者x=x'+ut， y=y'+vt (t∈R)x',y'直线经过定点(x',y'),u，v表示直线的方向向量d=(u，v)

圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ) y=r(sinφ-φcosφ)(φ∈[0,2π)) r为基圆的半径 φ为参数

平摆线参数方程 x=r(θ-sinθ) y=r(1-cosθ)r为圆的半径，θ是圆的半径所经过的角度(捲动角)，当θ由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。

方程的套用

在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。

柯西中值定理

如果函式f(x)及F(x)满足:

⑴在闭区间[a，b]上连续;

⑵在开区间(a，b)内可导;

⑶对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，

那麽在(a，b)内至少有一点ζ，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿-莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。

参数曲线亦可以是多于一个参数的函式。例如参数表面是两个参数(s,t)或(u,v)的函式。

譬如一个圆柱:

r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]=[acos(u),asin(u),v]

参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时，它的位置必然与时间有关系，也就是说，质的坐标x，y与时间t之间有函式关系x=f(t)，y=g(t)，这两个函式式中的变数t，相对于表示质点的几何位置的变数x，y来说，就是一个参与的变数。这类实际问题中的参变数，被抽象到数学中，就成了参数。我们所学的参数方程中的参数，其任务在于沟通变数x，y及一些常量之间的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。

用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线)，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，如圆的渐开线的普通方程。

根据方程画出曲线十分费时;而利用参数方程把两个变数x，y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。