基本简介
定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线。
定义1：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的準线
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
1.a、b、c不都是零.
2. b^2 - 4ac > 0.
3.a^2+b^2=c^2
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
标準方程
1，焦点在X轴上时为：
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
2，焦点在Y 轴上时为：
y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1
主要特点
轨迹上一点的取值範围
│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。
对称性
关于坐标轴和原点对称。
顶点
A(-a,0)， A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.
B(0,-b）， B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^2
渐近线
焦点在x轴：y=±（b/a)x.
焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到準线距离，θ为弦与x轴夹角。
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e)
令θ=0，得出ρ=ep/（1-e）,x=ρcosθ=ep/（1-e）
令θ=PI，得出ρ=ep/（1+e）,x=ρcosθ=-ep/（1+e）
这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)]
则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)]
代入上式：
ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
例题
现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中
设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则
y=(b/a）√（x^2-a^2） (x>a)
因为x^2-a^2 即y 所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方 根据对称性第二、三、四象限亦如此 第一定义：e=c/a 且e∈（1，+∞）. 第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线（相应準线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e. d点│PF│/d线（点P到定直线（相应準线）的距离）=e （圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离） 左焦半径：r=│ex+a│ 右焦半径：r=│ex-a│ 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2 这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴） 双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。 几何表达：S：（x^2/a^2）-(y^2/b^2）=1 S'：（y^2/b^2）-(x^2/a^2）=1 特点：（1）共渐近线 ；与渐近线平行的线和双曲线有且只有一个交点 （2）焦距相等 （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 焦点在x轴上：x=±a^2/c 焦点在y轴上：y=±a^2/c （圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦） d=2b^2/a d=2pe/（1-e^2cos^2θ） d = √（1+k^2）|x1-x2| = √（1+k^2）(x1-x2）^2 = √（1+1/k^2）|y1-y2| = √（1+1/k^2）(y1-y2）^2 推导如下： 由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2） / (x1 - x2） 得 y1 - y2 = k(x1 - x2） 或 x1 - x2 = (y1 - y2）/k 分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2）^2; + (y1 - y2）^2; ] 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√（1 + k^2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√（1 + 1/k^2;) X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函式的标準型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函式图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x,y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴 所以应该旋转45度 设旋转的角度为 a （a≠0，顺时针） （a为双曲线渐进线的倾斜角） 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)^2 -(xsin（π/4） - ycos（π/4）)^2 = （√2/2 x + √2/2 y)^2 -（√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 （√2/2 x) （√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X^2/（2c) - Y^2/（2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此证得，反比例函式其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式. 双曲线内、上、外 在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x^2/a^2-y^2/b^2>1； 在双曲线的线上称为双曲线上，则有x^2/a^2-y^2/b^2=1； 在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x^2/a^2-y^2/b^2<1。 以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。 双曲线有两个分支。 在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。 在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的準线 在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。 双曲线有两个焦点，两条準线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条準线。但是给定同侧的一个焦点，一条準线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，準线和相同离心率得到的双曲线是相同的。） 双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。 双曲线有两条渐近线。渐进线方程为:+b/a或-b/a 若∠F1PF2=θ， 则S△F1PF2=b2×cot（θ/2）或S△F1PF2=b2/tan（θ/2） ·例：已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 少？ 解：由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b2×cot（θ/2） =√3 设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=1/2×h×2√2;h=√6/2 双曲线的参数方程：x=a*sec θ (正割) y=b*tan θ ( a为实半轴长， b为虚半轴长， θ为参数。） 从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际套用。离心率
双曲线焦半径公式
等轴双曲线
共轭双曲线
準线
通径长
过焦点的弦长公式
弦长公式
双曲线的标準公式与反比例函式
其他资料
重要概念和性质
分支
焦点
準线
离心率
顶点
渐近线
三角形面积公式
双曲线参数方程
光学性质
