定义
我们知道，三角函式分为sin（正弦）、cos（余弦）、tan（正切）、cot（余切）、sec（正割）、csc（余割）六种。而双曲函式也如此。故而，反双曲函式也有六种。有反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切、反双曲余切、反双曲正割、反双曲余割六种。这里，就介绍比较常见的前三种：反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切。反双曲函式是双曲函式的反函式。记为（arsinh、arcosh、artanh等等）。与反三角函式不同之处是它的前缀是ar意即area(面积)，而不是arc(弧)。
反双曲正弦
反双曲正弦函式记作y=arsinhx。
双曲函式y=sinhx的定义是y=sinhx=
.那么，取它的反函式，最终得到反双曲正弦函式的定义是y=arsinhx= 。反双曲正弦函式的定义域为
。它是奇函式。在区间 内单调增加。反双曲正弦函式的图像如图所示。反双曲正弦函式的导数是
。不定积分是 （不包含不定积分特有的常数C）。反双曲正弦函式的幂级数展开式是：
。反双曲余弦
反双曲余弦函式记作y=arcoshx。
双曲函式y=coshx的定义是y=coshx=
.那么，取它的反函式，最终得到反双曲余弦函式的定义是y=arcoshx= 。反双曲余弦函式的定义域为
。它是非奇非偶函式。在区间 内单调增加。反双曲余弦函式的图像如图所示。反双曲余弦函式的导数是
。不定积分是 （不包含不定积分特有的常数C）。反双曲余弦函式的幂级数展开式是：
=
。反双曲正切
反双曲正切函式记作y=artanhx。
双曲函式y=sinhx的定义是y=tanhx=
.那么，取它的反函式，最终得到反双曲正切函式的解析式是y=artanhx= 。反双曲正切函式的定义域为
。它是奇函式。在区间 内单调增加。反双曲正切函式的图像如图所示。反双曲正切函式的导数是
。不定积分是 （不包含不定积分特有的常数C）。需要注意，在反双曲正切的不定积分中，有条件 ，此不定积分才能成立。反双曲正切函式的幂级数展开式是：
=
。对比
在数学中，双曲函式类似于常见的（也叫圆函式的）三角函式。基本双曲函式是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
求导
双曲函式求导
shx = (e^x - e^(-x)/2, (shx) ' =chxchx = (e^x + e^(-x)/2, (chx) ' =shxthx = shx / chx, (thx) ' = 1/(chx)^2
反双曲函式求导
arsinh x = ln[ x+ (x^2+1)^(1/2) ] , (arsinh x) ' = 1/ (x^2+1)^(1/2)arcosh x = ln[ x+ (x^2-1)^(1/2) ] , (arcosh x) ' = 1/ (x^2-1)^(1/2)
artanh x =(1/2) [ ln(1+x)/(1-x) ], (artanh x) ' = 1/(1-x^2)
