定义
一般的，如果两个变数x，y之间的关係可以表示成 (k为常数，k≠0，x≠0），其中k叫做反比例係数，x是自变数，y是x的函式，x的取值範围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k>0时，图象在一、三象限。k<0时，图象在二、四象限。k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。表达式
x是自变数，y是因变数，y是x的函式
（即：y=kx^-1）
(k为常数且k≠0，x≠0）
若此时比例係数为：
自变数的取值範围
① 在一般的情况下 , 自变数 x 的取值範围可以是不等于0的任意实数。
② 函式 y 的取值範围也是任意非零实数。
解析式
其中x是自变数，y是x的函式，其定义域是不等于0的一切实数，
即 {x|x≠0,x属于R这个範围。R是实数範围。也就是x是实数}。
下面是一些常见的形式：y*x=-1,y=x^(-1)*k（k为常数(k≠0），x不等于0）
函式图象
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
图象画法
1）列表
| x | ... | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
y | ... | -4 | -6 | -12 | 12 | 6 | 4 | 3 | ... |
2）在平面直角坐标系中标出点。
3）用平滑的曲线连线点。
当K>0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而减小。
当K<0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而增大。
当两个数相等时那么曲线呈弯月型。
k的意义及套用
过反比例函式
（ ）图象上任意一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积为 。过反比例函式图象一点，作任一坐标轴的垂线，并连线原点，围成的三角形的面积为 。研究函式问题要透视函式的本质特徵。反比例函式中，比例係数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函式图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积为
。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。这个常数是k的绝对值。在解有关反比例函式的问题时，若能灵活运用反比例函式中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
函式性质
单调性
当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
k>0时，函式在x<0上同为减函式、在x>0上同为减函式；k<0时，函式在x<0上为增函式、在x>0上同为增函式。
相交性
因为在
(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函式的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。面积
在一个反比例函式图像上任取两点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，
反比例函式上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则QOWM的面积为|k|，则连线该矩形的对角线即连线OM,则RT△OMQ的面积=½|k|。
图像表达
反比例函式图象不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。
k值相等的反比例函式图象重合，k值不相等的反比例函式图象永不相交。
|k|越大，反比例函式的图象离坐标轴的距离越远。
对称性
反比例函式图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函式的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；反比例函式图象上的点关于坐标原点对称。
图象关于原点对称。若设正比例函式y=mx与反比例函式 交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
反比例函式关于正比例函式y=±x轴对称,并且关于原点中心对称。
套用举例
例1
反比例函式图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程 t^2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函式的解析式．
分析：
要求反比例函式解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．
解：∵ m, n是关于t的方程 的两根
∴ m+n=-3，mn=k,
又∵P到原点的距离为根号13
m＾2+n＾2=13, m+n=-3;∴ (m+n)＾2-2mn=13, m+n=-3；
∴ 9-2k=13
∴ k=-2
∴该反比例函式的解析式为y=-2/x.
例2
直线与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：
（1）求双曲线的解析式
分析：矩形aboc的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，设A点坐标为（m,n），则AB=|n|, AC=|m|，
根据矩形的面积公式知|m·n|=6.
由已知条件知，该双曲线位于第二、四象限，因此，A点坐标值异号，
即双曲线的解析式为xy=-6.例3
已知一次函式y=-x+6和反比例函式 y=x/k（k≠0）
（2）k满足什么条件时，这两个函式在同一坐标系中的图像有两个交点？
（3）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。解（1）一次函式y=-x+6和反比例函式y=x/k（k不等于零）有两个交点，即
化简的有两个交点 则方程有两个不同的解
即所以k<9且k不等于0
（2）当0 已知函式. （1）当m为何值时，y是x的正比例函式? （2）当m为何值时，y是x 的反比例函式？ 解（1）正比例函式则x次数是1 (m-2)(m+1)=0 m=2,m=-1 係数不等于0 m-1≠0 所以m=2,m=-1 （2）反比例函式则x次数是-1 m(m-1)=0 m=0,m=1 係数不等于0 m-1≠0 所以捨去m=1 因此m=0 一矩形的面积为24，则该矩形的长x cm与宽y cm之间的关係是什么?请写出函式表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。 解 面积xy=24 函式表达式(x>0) 矩形的各边长均为整数 可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24 形如 自变数x的取值範围是不等于0的一切实数。 反比例函式图象性质：反比例函式的图象为双曲线。 由于反比例函式属于奇函式，有对称中心，图象关于原点对称。 另外，从反比例函式的解析式可以得出，在反比例函式的图象上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。 如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函式图象。 当K>0时，反比例函式图象经过一，三象限，是减函式 当K<0时，反比例函式图象经过二，四象限，是增函式 反比例函式图象只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。 过反比例函式图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。 对于双曲线，若在分母上加减任意一个实数m(m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移） 设n为正整数，则n的所有取值所对应的函式 设n为正整数，则n的所有取值所对应的函式例3
例4
知识与概念
概念理解
重点知识
延伸
