取整函式

定义

x-[x]称为x的小数部分，记作{x}。

（需要注意的是，对于负数，[x]并非指x小数点左边的部分，{x}也并非指x小数点右边的部分，例如对于负数-3.7，[-3.7]=-4，而不是-3，此时{x}=-3.7-(-4)=0.3，而不是-0.7.）

相关概念

【阶梯曲线】

即取整函式的在定义域D=（-∞，+∞），值域Rf=Z的图形，在x为整数值处，图形发生跳跃，越度为1。

性质

性质1 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.

性质2对任意x∈R,函式y={x}的值域为[0,1)

性质3 取整函式(高斯函式)是一个不减函式,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].

性质4若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函式.

性质5 若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.

性质6若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x].

性质7若n∈N+,x

性质8设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为

p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+….

厄米特恆等式

套用

取整函式与微积分有着紧密联繫，它在科学和工程上有广泛套用。