基本简介
数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic；德文：Kongruenz）。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。
同余理论是初等数论的重要组成部分,是研究整数问题的重要工具之一,利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的.同余是数学竞赛的重要组成部分.
同余符号
数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m
同余记作a ≡ b (mod m)
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。
比如 26 ≡ 2 (mod 12)
【定义】设m是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余.
显然,有如下事实
(1)若a≡0(mod m),则m|a;
(2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除,余数相同.
【证明】 充分性:设a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<=r1,r2 ∵ m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2). 则有m|(r1-r2). ∵0<=r1,r2 即r1-r2=0,∴r1=r2. 必要性:设a,b用m去除余数为r,即a=mq1+r,b=mq2+r, a-b=m(q1-q2) ∴m|(a-b), 故a≡b(mod m). 1 反身性 a ≡ a (mod m) 2 对称性 若a ≡ b(mod m) 则b ≡ a (mod m) 3 传递性 若a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m),则a ≡ c (mod m) 4 同余式相加若a ≡ b (mod m)，c≡d(mod m)，则a+-c≡b+-d（mod m） 5 同余式相乘 若a ≡ b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd（mod m） 【证明】上述性质很容易证明,下面仅证明(3). ∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c), ∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c). 故a≡c(mod m). 4 线性运算如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那麽(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m) 【证明】(1)∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 m|(c-d) ∴m|[(a-b)±(c-d)] ∴m|[(a±c)-(b±d)] ∴a ± c ≡ b ± d (mod m) (2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d) 又 m|(a-b) , m|(c-d) ∴m|(ac-bd) ∴a * c ≡ b * d (mod m) 5 除法若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/(c,m)) 其中(c,m)表示c,m的最大公约数 特殊地 (c,m)=1 则a ≡ b (mod m) 6 乘方如果a ≡ b (mod m)，那麽a^n ≡ b^n (mod m) 7 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n) 8 若a ≡ b (mod mi） i=1,2...n 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最低公倍数 9 欧拉定理 设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(φ(m))≡1(mod m) (注:φ(m)指模m的简系个数， φ(m)=m-1, 如果m是素数；φ(m=q1^r1 * q2^r2 * ...*qi^ri)=m (1-1/q1)(1-1/q2)...(1-1/qi)) 推论: 费马小定理: 若p为质数，则a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p) （但是当p|a时不等价） 10 中国剩余定理 设整数m1,m2,m3,......,mn 两两互素，令m=m1m2m3m4m5...mn（mi的连乘）。则对于任意的J在（1,n)整数，下列联立的同余式有解： {xj≡1(mod mj) {xj≡0(mod mi) i不等于j 令x为从1到najxj的和，则x适合下列联立同余式 x≡aj（mod mj）, j=1,2,3,.....,n 另：求自然数a的个位数位，就是求a与哪一个一位数对于模10同余。性质信息
