圆内接四边形--中文百科全书

性质定理

以右图所示圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，连线OA、OB，延长AB至E，AC、BD交于P，则:

▶圆内接四边形的对角互补:∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°

▶圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:∠CBE=∠ADC

▶圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍:∠AOB=2∠ACB=2∠ADB

▶同弧所对的圆周角相等:∠ABD=∠ACD

示例图

▶圆内接四边形对应三角形相似:△ABP∽△DCP(三个内角对应相等)

▶相交弦定理:AP×CP=BP×DP

▶托勒密定理:AB×CD+AD×CB=AC×BD

判定定理

1、如果一个四边形的对角互补，那麽这个四边形内接于一个圆;

2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那麽这个四边形内接于一个圆;

3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那麽这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆;

4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那麽这两个三角形有公共的外接圆;

5、如果一个四边形的张角相等，那麽这个四边形内接于一个圆;

6、相交弦定理的逆定理;

7、托勒密定理的逆定理。

面积计算

S圆内接四边形=√[﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚﹙p-d﹚]，[p=1/2﹙a+b+c+d﹚]，此公式叫婆罗摩笈多公式。熟悉海伦公式的可以看出，这和海伦公式三角形面积S=√[p ﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚] (p=1/2﹙a+b+c﹚)具有惊人的相似，其实海伦公式就是婆罗摩笈多公式d=0的特殊形式。