基本初等函式

分类方法

数学分析将基本初等函式归为六类：幂函式、指数函式、对数函式、三角函式、反三角函式、常数函式。

下面一一介绍这些函式。

幂函式

定义

一般地，形如y=x^{α(α为有理数）的函式，即以底数为自变数，幂为因变数，指数为常数的函式称为幂函式。例如函式y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函式。一般形式如下：}

性质

幂函式的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函式的奇偶性；幂函式的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函式图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

幂函式取正值

当α>0时，幂函式y=x^{α有下列性质：}

a、图像都经过点（1,1）(0,0）；

b、函式的图像在区间[0,+∞)上是增函式；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小；

幂函式取负值

当α<0时，幂函式y=x^{α有下列性质：}

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函式；（内容补充：若为X^{-2，易得到其为偶函式。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函式亦是如此）}

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变数趋近0，函式值趋近+∞，自变数趋近+∞，函式值趋近0。

幂函式取零

当α=0时，幂函式y=x^{a有下列性质：}

y=x^{0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。}

指数函式

定义

性质

当a>1时，指数函式对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0的时候，y等于1。当0x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候，y等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识得：

作为实数变数x的函式，

有时，尤其是在科学中，术语指数函式更一般性的用于形如

指数函式的一般形式为

如图所示为a的不同大小影响函式图形的情况。

在函式中可以看到

（1） 指数函式的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函式的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函式无意义一般也不考虑。

（2） 指数函式的值域为

（3） 函式图形都是上凹的。

（4） a>1时，则指数函式单调递增；若0

（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（不等于0）函式的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函式的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函式的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6） 函式总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7） 函式总是通过（0，1）这点,(若

（8） 指数函式无界。

（9）指数函式是非奇非偶函式

（10）指数函式具有反函式，其反函式是对数函式，它是一个多值函式。

对数函式

定义

一般地，函式y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函式，也就是说以幂（真数）为自变数，指数为因变数，底数为常量的函式，叫对数函式。

其中x是自变数，函式的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函式的反函式，可表示为x=a^{y。因此指数函 数里对于a的规定，同样适用于对数函式。一般形式如下：}

性质

定义域求解：对数函式y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型複合函式的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函式y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}。

值域：实数集R，显然对数函式无界；

定点：对数函式的函式图像恆过定点（1，0）；

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函式；0

奇偶性：非奇非偶函式

周期性：不是周期函式

零点：x=1

注意：负数和0没有对数。

两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：

也就是说：若y=logab （其中a>0,a≠1，b>0）

当00;

当a>1, b>1时，y=logab>0;

当01时，y=logab<0;

当a>1, 0

三角函式

三角函式是数学中常见的一类关于角度的函式。也就是说以角度为自变数，角度对应任意两边的比值为因变数的函式叫三角函式，三角函式将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函式在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函式也被定义为无穷级限或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是複数值。

常见的三角函式包括正弦函式、余弦函式和正切函式。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函式、正割函式、余割函式、正矢函式、半正矢函式等其他的三角函式。不同的三角函式之间的关係可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恆等式。

三角函式一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函式为模版，可以定义一类相似的函式，叫做双曲函式。常见的双曲函式也被称为双曲正弦函式、双曲余弦函式等等。三角函式（也叫做圆函式）是角的函式；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他套用中是很重要的。三角函式通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是複数值。

常见三角函式主要有以下 6 种：

正弦函式 ：y =sinx

余弦函式 ：y =cos x

正切函式 ：y =tan x

余切函式 ：y =cot x

正割函式 ：y =sec x

余割函式 ：y =csc x

此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函式。

反三角函式

反三角函式是一种基本初等函式。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函式的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割，反余割为x的角。

它并不能狭义的理解为三角函式的反函式，是个多值函式。三角函式的反函式不是单值函式，因为它并不满足一个自变数对应一个函式值的要求，其图像与其原函式关于函式y=x对称。欧拉提出反三角函式的概念，并且首先使用了“arc+函式名”的形式表示反三角函式。

主要有以下 6 个：

反正弦函式：y = arcsin x

反余弦函式：y = arccos x

反正切函式：y = arctan x

反余切函式：y = arccot x

反正割函式：y = arcsec x

反余割函式：y = arccsc x

常数函式

定义

在数学中，常数函式（也称常值函式）是指值不发生改变（即是常数）的函式。例如，我们有函式f(x)=4，因为f映射任意的值到4，因此f是一个常数。更一般地，对一个函式f: A→B，如果对A内所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那么，f是一个常数函式。

请注意，每一个空函式（定义域为空集的函式）无意义地满足上述定义，因为A中没有x和y使f(x)和f(y)不同。然而有些人认为，如果包括空函式的话，那么常数函式将更容易定义。

对于多项式函式，一个非零常数函式称为一个零次多项式。下列为一般形式：

y=C (C是常数)

性质

常数函式可以通过与複合函式的关係，从两个途径进行描述。

下面这些是等价的：

f: A→B是一个常数函式。 对所有函式g, h: C→A, fog=foh（“o”表示複合函式）。 f与其他任何函式的複合仍是一个常数函式。 上面所给的常数函式的第一个描述，是範畴论中常数态射更多一般概念的激发和定义的性质。

根据定义，一个函式的导函式度量自变数的变化与函式变化的关係。那么我们可以得到，由于常数函式的值是不变的，它的导函式是零。例如：

如果f是一个定义在某一区间、变数为实数的实数函式，那么若且唯若f的导函式恆为零时，f是常数。 对预序集合间的函式，常数函式是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如f的定义域是一个格，那么f一定是一个常数函式。

常数函式的其他性质包括：

任一定义域和陪域相同的常数函式是等幂的。 任一拓扑空间上的常数是连续的。 在一个连通集合中，若且唯若f是常数时，它是局部常数。