塞瓦定理

验证推导

∵△ADC被直线BOE所截，

∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①

∵△ABD被直线COF所截，

∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②/①约分得：

(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1

（2）也可以利用面积关係证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ，AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得

定理推广

①证明三角形三条高线必交于一点:

设△ABC三边的高分别为AE、BF、CD，垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为

，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

②三角形三条中线交于一点（重心）:

如右图：已知，D、E分别为△ABC的边BC、AC 的中点，连线AD、BE相交于点O，连线CO并延长交AB于F

求证：AF=FB

证明：∵BD=DC，CE=EA

∴BD/DC=1，CE/EA=1

由塞瓦定理得

(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

∴AF/FB=1∴ AF=FB ，

∴CF为AB边上的中线

∴三角形三条中线交于一点（重心）

③用塞瓦定理证明三条角平分线交于一点

此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：

在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=

推论

1.塞瓦定理角元形式

AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：

(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1

由正弦定理及三角形面积公式易证。

2.如图，对于圆周上顺次6点A，B，C，D，E，F，直线AD，BE，CF交于一点的充分必要条件是：

(AB/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关係易证。

数学意义

使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。

记忆方法

塞瓦定理的优点多多，但是却不是特别好记，这里有一个方法。

(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

相当于BD*CE*AF=DC*EA*FB

各位发现等式左右两端字母竟然是一样的！

可以如下表述，在记忆(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1时，可理解为在符合在三边线段的前提下，分母分子字母一样，且分母、分子内部有相同字母.。

另外一种记忆方式是，将图中的ABC作为顶点，图中的DEF作为分点，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)可以看做是：顶点到分点（BD），该分点到另一顶点（DC），顶点再到分点（CE），分点再到顶点（EA），顶点再到分点（AF），分点再到顶点（FB）。