外积

描述

定义

符号表示：a× b

大小：|a|·|b|·sin.

方向：右手定则：若坐标系是满足右手定则的，设z=x×y,|z|=|x||y|*sin；则x,y,z构成右手系，伸开右手手掌，四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面，则大拇指方向即为z正轴方向。

外积的坐标表示：

(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)

分配律

a× (b+c) = a ×b +a ×c

分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1）外积的反对称性：

a× b= - b× a.

这由外积的定义是显然的。

2）内积（即数积、点积）的分配律：

a·（b+ c) = a·b+ a·c,

（a+ b）·c= a·c+ b·c.

这由内积的定义a·b= |a|·|b|·cos；，用投影的方法不难得到证明。

3）混合积的性质：

定义（a×b）·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：

i) (a×b）·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定（右手係为正，左手係为负）。

简单证明：体积V=底面积S×高h

=|a×b|×|h|

=|a×b|×|c|×(c·h)/(|c||h|)

=|a×b|×(c·h)/|h|

而|h|=|a×b|

所以 V=c·h=c·(a×b）

从而就推出：

ii) (a×b）·c= a·（b×c)

所以我们可以记a,b,c的混合积为（a,b,c).

由i）还可以推出：

iii) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

分配律证明

下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。

设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+ c))里，交替两次利用3）的ii）、iii）和数积分配律2），就有

r·(a×(b + c))

= (r×a)·(b+ c)

= (r×a)·b+ (r×a)·c

= r·(a×b) + r·(a×c)

= r·(a×b+ a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·（a×（b+ c) - (a×b+ a×c)) = 0

这说明矢量a×（b+ c) - (a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3）的iv），这个矢量必为零矢量，即

a×（b+ c) - (a×b+ a×c) = 0

所以有

a×（b+ c) = a×b+a×c.

证毕。

二重向量外积

向量二重外积公式：a × (b×c )= b(a · c) − c(a ·b)

抽象定义

具体的说，给定

这里的

可作为替代，它是

如果