子集

定义

即：∀a∈A有a∈B，则A⊆B。

真子集

如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊊B。

符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，且

如概述图中，集合A就是集合B的真子集。

性质

一、根据子集的定义，我们知道A⊆A。也就是说，任何一个集合是它本身的子集。

二、对于空集∅，我们规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集。

说明：若A=∅，则∅⊆A仍成立。

证明：给定任意集合A，要证明∅是A的子集。这要求给出所有∅的元素是A的元素；但是，∅没有元素。对有经验的数学家们来说，推论“∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为∅没有任何元素，如何使这些元素成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。

为了证明∅不是A的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。 因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A的子集。

三、若A、B、C是集合，则：

自反性：A=A

反对称性：若且唯若

传递性：若

这个命题说明：包含是一种偏序关係。

四、

这个命题说明：对任意集合S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

五、： 对任意两个集合 A 和 B，下列所有表述等价：

• A ⊆ B

• A ∩ B =A

• A ∪ B = B

• A−B=A (当A∩B=∅) ；A−B=C𝖠(A∩B)（当A∩B≠∅）

• B′ ⊆ A′

这个命题说明：表述 A ⊆ B 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关係在公理体系中是多余的。

六、假设非空集合A中含有n个元素，则有：

• A的子集个数为2^n。

• A的真子集的个数为2^n-1。

• A的非空子集的个数为2^n-1

• A的非空真子集的个数为2^n-2。