质数简介
素数是指正因数只有1和本身即只能被自身和1整除的正整数，“孪生素数”则是指两个相差为2的素数，例如3和5，17和19等。而随着素数的增大，下一个素数离上一个素数应该越来越远，故古希腊数学家欧几里得猜想，存在无穷多对素数，他们只相差2，例如3和5，5和7，2003663613×2195,000-1和2003663613×2195,000+1等等。素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。
由于孪生素数猜想的高知名度以及它与哥德巴赫猜想的联繫，因此不断有学术共同体外的数学爱好者试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想。然而，尚未出现能够通过专业数学工作者审视的证明。
1849年，波林那克（Alphonse de Polignac）提出了更一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对 (p,p + 2k)。k= 1的情况就是孪生素数猜想。
发展史
素数——那些因数除了1就是他们本身的数。从欧几里得——他在2000年前证明了素数有无穷多个后，它就让无数数学家为之倾倒。
因为素数从根本上和乘法相关，理解他们和加法相关的性质就变得很困难。一些数学上最古老的未解之谜就和素数和加法相关，其中之一就是孪生素数猜想——存在无 限多组差为2的素数对。另一个则是哥德巴赫猜想，这个猜想提出所有的偶数都可以表示为两个素数之和。
在自然数列的起始部分存在着大量的素数，但是 随着数字变大，它们变得越来越稀少。举例来说，在前10个自然数里，40%都是素数——2，3，5和7——但是在所有的10位数里，仅有4%的数是素数。 在过去的一个世纪里，数学家们掌握了素数减少的规律：在大数中，连个素数之间的间隔大约是位数的2.3倍。举例说明，在100位的数中，两个素数的平均间 隔大约是230。
但是这只是平均而言。素数通常比平均预计的更加紧密的出现，或者相隔更远。具体来说，“孪生”素数通常扎堆出现，比如3和 5还有11和13，他们的差仅为2。而在大数中，孪生素数似乎从没有完全消失（详见本词条的最大值）。
1849年，法国数学家阿尔方·波利尼亚克提出了“波利尼亚克猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p+2k)。k等于1时就是孪生素数猜想，而k等于其他自然数时就称为弱孪生素数猜想（即孪生素数猜想的弱化版）。因此，有人把波利尼亚克作为孪生素数猜想的提出者。
从那时开始，这些猜想的内在吸引力冠予了它们数学的圣杯的称号，虽然他们可能没有实际的套用价值。虽然有很多数学家们致力于证明这一猜想，他们还是不能排除素数的间隔会一直增长最终超过一个特定上限的可能。
1921年，英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德提出一个与波利尼亚克猜想类似的猜想，通常称为“哈代-李特尔伍德猜想”或“强孪生素数猜想”（即孪生素数猜想的强化版）。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。中国数学家周海中指出：要证明强孪生素数猜想，人们仍要面对许多巨大的困难。
孪生素数无限多的证明
关键字:完全不等数,SN区间,LN区间，对应数段。.
阴性合数定理和阴性素数定理
大于3的素数只分布在6n-1和6n+1两数列中。（n非0自然数，下同）
6n-1数列中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数（q)。
6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1）（N M两个非0自然数，N=〈 M，下同）
6乘以阴性上等数减去1等于阴性上合数。
6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1）
6乘以阴性下等数减去1等于阴性下合数。
在6n-1数列中只有这两种合数，余下就是阴性素数了，所以就有阴性素数定理
x=/=6NM+-（M-N）
阴性不等数不等于阴性上下两式。
6x-1=q
6乘以阴性不等数减去1等于阴性素数。
阳性合数定理和阳性素数定理
6n+1数列中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数(P)。
6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1）
6乘以阳性上等数加上1等于阳性上合数。
6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1）
6乘以阳性下等数加上1等于阳性下合数。
在6n+1数列中只有这两种合数，余下就是阳性素数了，所以就有阳性素数定理
X=/=6NM+-（N+M）
阳性不等数不等于阳性上下两式。
6X+1=P
6乘以阳性不等数加上1等于阳性素数。
与孪生素数相对应的完全不等数
(X)=/=6NM+-(M+-N)
完全不等数,它既不等于阴性上下两式；也不等于阳性上下两式。
6(X)+1=P
6乘以完全不等数加上1等于阳性素数；
6(X)-1=q
6乘以完全不等数减去1等于阴性素数。
一个完全不等数所产生的阴性素数q和阳性素数P就是一对孪生素数.
并且完全不等数与孪生素数是一一对应的.
四。阴阳四种等数在自然数列中的分布概况
6NM+（M-N）=阴性上等数 6NM-（M-N）=阴性下等数
6NM+（N+M）=阳性上等数 6NM-（N+M）=阳性下等数
为了搞清它们在自然数中分布情况，把四式中的N叫级别因子数，M叫无限因子数。
四种等数的每一个级别的最小等数都在6NN+-（N+N）範围。
每一级别的上等数相邻两等数距离是6n+1，在自然数列中比例是1/（6n+1），阴阳两种上等数每个级别的比例合计是2/（6n+1），（但实际是略少于这个比例，因每一级别的底部都没有这个级别的等数。）
每一级别的下等数相邻等数的距离是6n-1，在自然数列中的比例是1/（6n-1），阴阳两种下等数的每个级别的合计比例是2/（6n-1），（但实际是略少于这个比例，因每一级别的底部都没有这个级别的等数。）
在相对应的级别标準单位的连续自然数筛掉一个级别的四种等数后，剩下非该级别的自然数的比例是[(6N-1)(6N-3)]/[(6N+1)(6N-1)].并且是精準的。
五。四种等数大小数列的互相渗透
自然数列中在阴性方面有阴性上等数和阴性下等数两种数列；自然数数列在阳性方面有阳性上等数和阳性下等数两种数列。它们的级别有无限多，每一个级别的数列的等数也是无限多的。同一种等数级别不同的数列都是互相渗透而产生重叠，并以两级别的等数相邻距离的乘积而严格地渗透重叠的。
筛掉N及以下级别的所有等数用（6NN+6N）*3/5*5/7*9/11*11/13*......*(p-2)/p这个连乘式正好可以解决它们的渗透重叠关係。
四种等数数列之间都有互相渗透而重叠，只有同一级别阴阳上上数列和下下数列没有渗透。
如第一级别的阳性下等数，从4开始每隔5个自然数就是一个第一级别的阳性下等数，它的比例是1/5，只要大于3的任何连续5个自然数，第一级别阳性下等数的比例是1/5，并且永远不变。第一级别的阴性下等数从6开始每隔5个个自然数就是一个阴性下等数，它的比例是1/5,只要大于5的连续5个自然数，第一级别阴性下等数的1/5的比例也是永远不变的。这样第一级别的阴阳两种下等数的比例是2/5，在任何大于5的5个连续自然数这个比例也是永远不变的。第一级别的阴阳两种上等数2/7,只要是连续7的自然数这个比例也是永远不变的。由于上下两等数的互相重叠，它们的比例是20/35,为什么不是4/7,因为只有在大于7的连续35个自然数这个比例是不变的，如果连续7个自然数，它的比例有时是2/7,有时是3/7，有时是4/7.其它级别也是一样的。
如果这个级别的等数间隔距离是合数的，这个级别的等数都与前面级别的等数重叠的，所以这些级别就不用计算了。
这样就立出以下的计算公式：
（6NN+6N）*3/5*5/7*9/11*11/13*......*(p-2)/p
(6NN+6N)是一个自然数的大体表达式，P《=N N以内最大的素数。
六。对应数段与同步区间
对应数段和精準的比例计算一个级别的四种等数，只有在同一级别的对应数段为单位才是精準的比例，不然就有误差。一个N级别的标準单位是（6N+1）（6N-1）；在计算N级别及以下的四种等数，它们的对应数段是N级别及以下的所有有性素数（不包括2和3的素数）的乘积。对应数段的增大速度非常快。对应数段的对应位置一定要在大于最大级别 的最小阴性等数。在这位置以上任何连续的对应数段为单位的自然数中，它们的自己的等数是一定的，比例是精準的（不包括大于它的级别等数）。
以对应数段为周期，对应的阴阳上下四种等数严密地分布在自然数列中。
计算一个以对应数段为单位的连续自然数中的对应级别中的四种等数用这个公式是非常精準的，但不能包括比这个级别大的等数，5*7*11*13*......*P*3/5*5/7*9/11*11/13*......*(p-2)/p=大于这些级别的等数和完全不等数。
由于每一个级别底部都没有本级别的等数和任何的标準单位中都有很多大于这些级别的等数，所以都会以挂另原因而产生误差，从而掩盖了这个公式的精準的实质。
2.与素数分布基本同步的SN区间
把自然数划分成12，24，36……以12为递增的一个个区间，这样的区间叫SN区间。即:
12（1+2+3+……+N）-12（1+2+3+......+(N-1)=(6N^2+6N)-[6(N-1)^2+6(N-1)]=12N
SN区间与四种等数分布是同步的。
在这样的区间内包括N级别及以下的所有四种等数数列的等数，并没有比N级别大的数列等数，与四种等数的级别是完全同步的，所以与素数的分布也是同步的。
七。每个大于S8区间内都有8个以上的完全不等数
在每一个SN区间只有存在1至N级别的四种数列等数，每一级别等数的比例是可以确定，由于上下级别的渗透。就可以拿以下式来计算S8区间的完全不等数的至少个数。
12*8*11/35*95/143*251/323*479/575*779/899*1151/1295*1593/1763*2111/2303=8.2768
（由于计算的区间不是对应的标準单位，肯定会有误差，为保险起见，把各级别中合数也给算上，一个级别中上下两种等数的重叠则没有算。）
其他每一个SN区间可用这种方法计算.
随着区间的增大完全不等数计算的数量也会越来越多.以后都会超过8个.
误差分析
在计算任何区间的等数，由于标準的比例与计算的区间都不能整除，所以存在误差是一定，由于误差掩盖了等数的精準比例。
由于各个区间与相对应的标準单位不能同步，一个级别及以下的所有有性素数的乘积为这个级别的对应的标準单位，一个标準单位比对应的级别区间大得很多，如第一和第二两个级别的标準单位就有5005，第二个N区间只有24，在5005的连续自然数中就有许多比第二级别大得多的等数，所以计算出的数值大多会有误差。只有用标準的单位计算相对应的所有级别的等数才不会有误差，由于标準单位的增速比等数级别快得多，所以就没有所有等数级别的标準区间。
另外，可用最严格下取整的误差分析方法，将SN区间捆绑成1,2,4,8,16......2^(N-1)的LN区间.在每一个大于S8的SN区间计算都大于8个完全不等数,在每一个LN区间都有2^N-1级别等数数列, 每级级别有4种等数数列,每一级别一种等数筛一次误差极限是1 .每一个LN区间误差极限是4*(2^N-1).
8*2^(N-1)-4*(2^N-1)=4
最严格下取整后大于L4的区间仍然还有4个完全不等数。
总结
根据以上的论证，在大于S8区间每一个SN区间都有8个以上的完全不等数.
严格的下取整后，大于L4的每一个LN区间都还有多于4个的完全不等数。
LN区间是无限多的，完全不等数与孪生素数对是一一对应的，所以孪生素数也是无限多的。
这个证明期待着权威的表态。其实权威旱在二十年前就已表态，说孪生素数问题是属于解析数论的範畴。[2]
以下是S100以内的孪生素数分布表
| （以孪中为準，含3；5）N 对数 最后一对s 1 8 73 71s 2 7 199 197s 3 8 433 431s 4 7 661 659s 5 9 1063 1061s 6 11 1489 1487s 7 11 1999 1997s 8 13 2593 2591s 9 10 3169 3167s 10 19 3931 3929s 11 19 4723 4721s 12 14 5521 5519s 13 15 6553 6551s 14 20 7561 7559s 15 14 8629 8627s 16 18 9769 9767s 17 18 10939 10937s 18 20 12253 12251s 19 11 13681 13679s 20 20 14869 14867s 21 20 16633 16631s 22 28 18133 18131s 23 19 19843 19841s 24 29 21601 21599s 25 26 23371 23369s 26 16 25171 25169s 27 23 27109 27107s 28 28 29209 29207s 29 23 31321 31319s 30 32 33349 33347s 31 30 35593 35591s 32 25 37993 37991s 33 23 40153 40151s 34 28 42841 42839s 35 28 45343 45341s 36 25 47809 47807s 37 37 50593 50591s 38 30 53281 53279s 39 26 56101 56099s 40 34 59023 59021s 41 25 61981 61979s 42 27 64921 64919s 43 31 68113 68111s 44 37 71263 71261s 45 32 74509 74507s 46 33 77713 77711s 47 37 81199 81197s 48 37 84631 84629s 49 38 88003 88001s 50 35 91573 91571s 51 43 95443 95441s 52 41 99139 99137s 53 34 102931 102929s 54 39 106861 106859s 55 36 110881 110879s 56 40 114799 114797s 57 43 118903 118901s 58 46 122869 122867s 59 34 127291 127289s 60 42 131713 131711s 61 44 136069 136067s 62 35 140551 140549s 63 40 145009 145007s 64 47 149731 149729s 65 51 154279 154277s 66 43 159193 159191s 67 46 163993 163991s 68 36 168901 168899s 69 37 173779 173777s 70 55 178909 178907s 71 56 183973 183971s 72 44 189151 189149s 73 46 194269 194267s 74 46 199753 199751s 75 47 205033 205031s 76 53 210601 210599s 77 34 215983 215981s 78 53 221719 221717s 79 51 227473 227471s 80 55 233161 233159s 81 47 238921 238919s 82 42 244861 244859s 83 54 250969 250967s 84 47 256903 256901s 85 45 262783 262781s 86 65 269221 269219s 87 50 275593 275591s 88 51 281923 281921s 89 55 288361 288359s 90 46 294649 294647s 91 56 301363 301361s 92 56 307873 307871s 93 59 314599 314597s 94 61 321469 321467s 95 72 328129 328127s 96 59 335173 335171s 97 45 342073 342071s 98 56 349081 349079s 99 56 356263 356261s 100 61 363439 363437s 101 44 370873 370871 |
36N（N+1）+ -1形的孪生素数，N《100000000 有109128对。证明在雁荡山孪生素数词条。
计算孪生素数个数的公式
N/6*3/5*5/7*9/11*11/13*......*(p-2)/p=M
N自然数，P是少于或等于N/36平方根乘以6的素数，M是孪生素数个数。
由于每一个级别的底部都没有等数，计算出的数值都比实际少。如果取所属级别的对应数段，不筛大于这些级别的等数，计算出的数值是0误差的。
最大值
目前已知最大的孪生素数共有388,342位数，通过分散式计算项目Primegrid的Sophie Germain素数搜寻项目于2016年9月14日发现：
2,996,863,034,895×21,290,000±1
非估算性
早在20世纪初，德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多，许多迹象也越来越支持这个猜想。最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所採取的方法。设所有的素数的倒数和为：
如果素数是有限个，那么这个倒数和自然是有限数。但是欧拉证明了这个和是发散的，即是无穷大。由此说明素数有无穷多个。1919年，挪威数学家布隆仿照欧拉的方法，求所有孪生素数的倒数和：
如果也能证明这个和比任何数都大，就证明了孪生素数有无穷多个了。这个想法很好，可是事实却违背了布隆的意愿。他证明了这个倒数和是一个有限数，这个常数就被称为布隆常数：b=1.90216054…布隆还发现，对于任何一个给定的整数m，都可以找到m个相邻素数，其中没有一个孪生素数。
1920年代，通过使用着名的筛理论（Sieve theory，基于埃拉托斯特尼筛法的理论），挪威的维果·布朗（Viggo Brun）证明了2能表示成两个最多有9个素数因子的数的差。这个结论已经有些近似于孪生素数猜想了。可以看到，只要将这个证明中的“最多有9个素数因子的数”改进到“最多有1个素数因子的数”，就可以证明孪生素数猜想了。
1966年由已故的我国数学家陈景润利用筛法（sieve method）所取得的。陈景润证明了：存在无穷多个素数p，使得p+2要么是素数，要么是两个素数的乘积。这个结果与他关于 Goldbach 猜想的结果很类似。一般认为，由于筛法本身的局限性，这一结果在筛法範围内很难被超越。
2013年5月14日，《自然》（Nature）杂誌线上报导张益唐证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的“1+2”证明。在最新研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，发现存在无穷多个之差小于7000万的素数对，从而在孪生素数猜想这个重要问题的道路上前进了一大步。
孪生素数猜想可以弱化为“能不能找到一个正数，使得有无穷多对素数之差小于这个给定正数”，在孪生素数猜想中，这个正数就是2。而张益唐找到的正数是“7000万”。儘管从2到7000万是一段很大的距离，《自然》的报导还是称其为一个“重要的里程碑”。正如美国圣何塞州立大学数论教授Dan Goldston所言，“从7000万到2的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到7000万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。”
2013年5月13日，张益唐在美国哈佛大学发表主题演讲，介绍了他的这项研究进展。《自然》的报导称，如果这个结果成立，就是第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。换言之，张益唐将给孪生素数猜想证明开一个真正的“头”。世界顶级数学期刊《数学年刊》（Annals of Mathematics）将準备接受张益唐作出证明的这篇文章，审稿人还评价“其证明是对的，并且是一流的数学工作”。
张益唐的论文在5月14号在网路上公开，两个星期后的5月28号，这个常数下降到了6000万。仅仅过了两天的5月31号，下降到了4200万。又过了三天的6月2号，则是1300万。次日，500万。6月5号，40万。在英国数学家Tim Gowers等人发起的“Polymath”计画中，孪生素数问题成为了一个在全球数学工作者中利用网路进行合作的一个典型。人们不断的改进张益唐的证明，进一步拉近了与最终解决孪生素数猜想的距离。截至2014年10月9日 (2014-10-09)[update], 素数对之差被缩小为 ≤ 246。从246到2，虽然离孪生质数的桂冠近在咫尺，但道路越来越艰难，谁能摘冠、何时摘冠不得而知。
估算性
证明孪生素数猜想的另一类结果则是估算性结果。 这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔Δ， 更确切地说是：
翻译成白话文， 这个表达式所定义的是两个相邻素数之间的间隔， 与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。 很显然， 孪生素数猜想如果成立， 那么Δ必须等于 0。因为孪生素数猜想表明pn+1-pn=2对无穷多个n成立，而ln(pn)→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合（从而对于整个素数集合也）趋于零。不过要注意，Δ=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充份条件。换句话说，如果能证明Δ≠0，则孪生素数猜想就不成立；但证明Δ=0却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。
对Δ最简单的估算来自于素数定理。按照素数定理，对于足够大的x，在x附近素数出现的几率为
， 这表明素数之间的平均间隔为ln(x)（这也正是Δ的表达式中出现 ln(pn)的原因），从而 给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为1。平均值为 1， 最小值显然是小于等于 1， 因此素数定理给出Δ≤1。对Δ的进一步估算始于Hardy和Littlewood。一九二六年，他们运用圆法（circle method）证明了假如广义Riemann猜想成立，则Δ≤2/3。这一结果后来被Rankin改进为Δ≤3/5。但这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义Riemann猜想， 因此只能算是有条件的结果。一九四零年，Erdös利用筛法首先给出了一个不带条件的结果：Δ<1（即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了）。此后Ricci于一九五五年，Bombieri和Davenport于一九六六年，Huxley于一九七七年，分别把这一结果推进到Δ≤15/16，Δ≤(2+√3)/8≈0.4665及 Δ≤0.4425。Goldston和Yildirim之前最好的结果是Maier在一九八六年取得的Δ≤0.2486。
2003年，Goldston和Yildirim发表了一篇论文，声称证明了Δ=0。但2003年4月23日，Andrew Granville （University de Montreal）和Kannan Soundararajan（University of Michigan）发现了Goldston和Yildirim证明中的一个错误。2005年，他们与Janos Pintz合作完成了证明。此外，若Elliott-Halberstam猜想成立，孪生素数猜想的弱化版本——存在无穷多对相距16的素数——在Δ=0时也会成立。
Δ=0被证明后人们的注意力自然就转到了研究Δ趋于0的方式上来。 孪生素数猜想要求Δ ~ [log(pn)]（因为pn+1-pn=2对无穷多个n成立)。Goldston和Yildirim的证明所给出的则是 Δ ~ [log(pn)]，两者之间还有相当距离。 但是看过Goldston和Yildirim手稿的一些数学家认为，Goldston和Yildirim所用的方法存在改进的空间。这就是说，他们的方法有可能可以对Δ趋于0的方式作出更强的估计。因此Goldston和Yildirim的证明， 其价值不仅仅在于结果本身，更在于它很有可能成为未来一系列研究的起点。
其他方式
1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了更一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p+2k)。k=1的情况就是孪生素数猜想。因此，波利尼亚克有时也被认为是孪生素数猜想的提出者。
1921年，英国数学家哈代和李特尔伍德提出了以下的强化版猜想：设为前N个自然数里孪生素数的个数。那么
其中的常数是所谓的孪生素数常数，其中的p表示素数。
哈代和李特尔伍德的猜测实际上是存在已久的孪生素数猜想的加强版。孪生素数猜想是指“孪生素数有无穷多个”。这个猜想至今仍未被证明。然而，哈代和李特尔伍德的猜测并不是需要建立在孪生素数猜想成立的前提上。
