实数域

历史

实数背景

实数，是一种能和数轴上的点一一对应的数。本来实数只叫作“数”，后来引入的虚数概念，数系扩充到複数系，原本的数便称作“实数”，意义是“实在的数”。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零。实数集通常用字母R表示。而用 Rn 来代表n维实数空间 （n-dimensional real space）。

实数是可以用来测量连续的量的。实数的个数是无穷的。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数（floating point numbe）

实数的公理系统

实数可以不同方式从有理数（即分数）构作出来。设 R 是所有实数的集合，则：集合 R 是一个体：可以作加、减、乘、除、乘方运算，且有如交换律，结合律等运算律。

集合 R 是有序的：设

若

集合 R 是完整的：设 R 的一个非空的子集S，如果S在R内有上限，那么S在R内有最小上限。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如：所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上限， 但是不存在有理数最小上限。实数是唯一适合以上特性的集合：亦即如有两个如此集合，则两者之间必存在代数学上所称的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

实数域的特性

连续性

数轴上的任何一点都可以用一个实数来表示，每个实数也对应着数轴上的一个点，可见全体实数正好铺满了数轴，这个性质称为实数的连续性。

有序性

对于任意a，b ∈R，必满足下述三个关係之一：

(i) a

(ii) a=b

(iii) a>b

对任意

推论： 任意两个不相等的实数间必然存在一个有理数（1）。

证明：

设

任意取定有理数

设

即

类似可以证明：任意两个不相等的实数之间必存在一个无理数。于是有：任意两个不相等的实数之间必有一个实数。

（1）也可以描述为：在任意一个区间（α,β）内都存在有理数。

由此可见，有理数在实数集中是密集分布的，但仍有“缝隙”，这些“缝隙”则有无穷多的无理数填满。

完备性

①所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

②有理数集并非拓扑完备，例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, …) 是有理数的柯西序列却没有有理数极限。但它却有个实数极限 √2。实数集是有理数集的空备化——这亦是其中一个构作实数集的方法。

极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里得几何的直线没有“空隙”。