对偶锥--中文百科全书

定义

设𝟀是实线性空间，C⊂𝟀是凸锥，则𝟀上相对于C的负和零线性泛函的集合，即

是实线性空间

中的锥，称

为C的对偶锥。由于将上述不等式中的0换为1仍得到相同的集合，因此亦称

为C的对偶锥。有时对偶锥也称为负极锥。类似地可以定义正极锥。

锥

[cone]

这里所说的锥是定义在实线性空间上的。设C是实线性空间𝟀的子集，如果对任意x∈ C和λ>0都有λx∈ C成立，则称C是一个锥。若0∈ C，则称锥C为尖锥(pointed come)。如果A⊂𝟀，则称包含A的最小锥为由A生成的锥，即

。如果𝟀中的锥C还是凸集，则称C 是一个凸锥(convex cone)。由A（⊂𝟀）生成的凸锥即是A中元素所有正线性组合全体构成的集合。当凸锥C满足C∩(-C)= {0} 时，则可以在𝟀上定义一个由C决定的半序关係。

立体锥

[solid cone]

设𝟀是可分的局部凸线性空间，C 是𝟀中的尖锥，如果C不包含一维子空间，则称C是突出的(salien)。如果C是𝟀中的内部非空的突出的尖凸锥，则称C为立体锥。此时，X上相对于C的任意正线性泛函f,即对任意x∈C都有f(x)≥0成立，都是连续的。

正则锥

[regular cone]

设C是巴拿赫空间空间𝟀的空子集，如果C是𝟀作为实线性空间的突出的尖凸锥，则C可以在𝟀上定义半序关係。如果C中任意递增且有序有界序列都收敛，则称C是正则锥。如果C 中任意递增且範数有界序列都收敛，则称C 是完全正则锥(completely regularcone)。如果C是正则的和立体的，则C是完全正则的。