对数函式

简介

如果a^{x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。}

一般地，函式y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函式，也就是说以幂（真数）为自变数，指数为因变数，底数为常量的函式，叫对数函式。

其中x是自变数，函式的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函式的反函式，可表示为x=a^{y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函式。}

“log”是拉丁文logarithm（对数）的缩写，读作：[英][lɔɡ][美][lɔɡ， lɑɡ]。

实际套用

在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。

对数函式的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】

通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），并把log10N记为lgN。另外，在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并且把logeN 记为In N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关係：

当a>0，a≠1时，a^X=N

由指数函式与对数函式的这个关係，可以得到关于对数的如下结论：

在实数範围内，负数和零没有对数；

有理和无理指数

如果

但是，如果是

对数可以简化乘法运算为加法，除法为减法，幂运算为乘法，根运算为除法。所以，在发明电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

複对数

複对数计算公式

複数的自然对数，实部等于複数的模的自然对数，虚部等于複数的辐角。

产生历史

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所着的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。

欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。

纳皮尔对数值计算颇有研究。他所製造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的构想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联繫。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关係为：

Nap．㏒x=10㏑（107/x）

由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。

瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。

英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

1619年，伦敦斯彼得所着的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。

对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。

最早传入我国的对数着作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫真数，0.3010叫做假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用假数为对数」。

我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，着有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些着作后，大为叹服。

当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函式形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名着《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函式是指数函式的逆函式，和21世纪的教科书中的提法一致。

函式性质

定义域求解：对数函式y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型複合函式的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函式y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1

和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

值域：实数集R，显然对数函式无界；

定点：对数函式的函式图像恆过定点（1，0）；

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函式；

0

奇偶性：非奇非偶函式

周期性：不是周期函式

对称性：无

最值：无

零点：x=1

注意：负数和0没有对数。

两句经典话：底真同对数正，底真异对数负。解释如下：

也就是说：若y=logab （其中a>0，a≠1，b>0）

当00;

当a>1， b>1时，y=logab>0;

当01时，y=logab<0;

当a>1， 0

公式推导

e的定义：

设a>0，a≠1

方法一：

特殊地，当

方法二：

设

两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a

特殊地，当a=e时，y'=（a^x）'=（e^x）'=e^xln e=e^x。

eº=1

运算性质

性质

一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

底数则要>0且≠1 真数>0

并且，在比较两个函式值时：

如果底数一样，真数越大，函式值越大。（a>1时）

如果底数一样，真数越小，函式值越大。（0

当a>0且a≠1时，M>0，N>0，那么：

和差

换底公式

推导：设

所以

两边取对数，则有

即

又因为

所以

指系

互换

倒数

链式

表达方式

（1）常用对数：lg（b）=log10b（10为底数）。

（2）自然对数：ln（b）=logeb（e为底数）。

e为无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828。

与指数的关係

同底的对数函式与指数函式互为反函式。

当a>0且a≠1时，a^x=N

关于y=x对称。

对数函式的一般形式为 y=㏒ax，它实际上就是指数函式的反函式（图象关于直线y=x对称的两函式互为反函式），可表示为x=a^{y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函式图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0}

可以看到，对数函式的图形只不过是指数函式的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函式。