对称性和守恆律

定义

对称性的观念是人们在观察自然界各种事物的几何形状时逐步形成的。一个球在围绕通过中心的任何轴转动时，都不改变它的形状，称它具有转动变换的对称性。在观察晶体时，可以看到各种规则的多而体，经过一定面的镜面反射或是绕特定轴转动特定角度，不改变它们的几何形状，显示了各种对称的组合。按照对称方式的不同，可以把晶体分为32类，如果再考虑磁性，还可以找到58类不同的晶体对称方式；总共有90类磁性晶体的对称方式。

接连几次对称变换仍然是一个对称变换，这些对称变换之间满足结合律。而且存在恆等变换和对称变换的逆变换。因此对称变换的总和构成一个对称群。在一个群的所有对称变换下不变或协变的状态(或运动规律)具有这个群的对称性。例如球具有转动群的对称性。

如果物质的运动规律具有某一连续变换群的对称性，同时它的能量最低的状态（基态或真空态）是对称的，那么与这个群的每一个生成元对应的物理量都会是一个守恆量。物质的运动形态可以千变万化，不断转化，而反映它们共性的守恆物理量将始终不变。守恆定律是物质运动过程中所必须遵守的最基本的法则。

案例

最普遍的对称性是时空几何对称性和量子力学的代数对称性。所有的物质都在时空中运动，在不同时间和地点重複相同的实验反覆证明了，对一个与周围物质切断了相互作用的孤立的系统，时空坐标原点的选取和坐标轴方向的选取都不会影响这一系统的运动规律。时空表现为均匀和各向同性的。坐标系原点的平移和坐标轴的转动都是对称变换，它们构成非齐次洛伦兹群，又称庞加莱群。在庞加莱群中，与平移生成元对应的物理量为能量动量矢量，与转动生成元对应的物理量为角动量。能量、动量守恆以及角动量守恆与时空均匀性和各向同性直接相关，它不依赖于物质的具体内容。不论是微观的还是巨观的，是粒子还是场，所有在均匀和各向同性的时空中运动的物质都必须遵守能量、动量和角动量的守恆律。

一个自由运动的微观粒子，不受其他粒子相互作用的影响，它的内部性质由与对称群相联繫的守恆量来描写，而与时空相关的特性，则由对称群的不变数来描写。粒子的能量、动量和角动量虽然都是守恆量，但它们不是洛伦兹群的不变数,当坐标系进行洛伦兹变换时,在相对作匀速直线运动的不同坐标繫上观测粒子的能量、动量和角动量会得到不同的数值。但是粒子的质量和它的总自旋则是洛伦兹群的不变数。只有用不变数才能準确地对微观粒子和时空相关的性质进行分类。