对称

与守恆性

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1918年德国数学家艾米·诺特（A·E·Noether）提出着名诺特定理（Noethertheorem）：作用量的每一种对称性都对应一个守恆定律，有一个守恆量。从而将对称和守恆性这两个概念是紧密地联系在一起的。因为诺特是女性，哥廷根大学却不準她开课；希伯特（DavidHilbert,1862－1943）闻之拍案而起：“大学又不是澡堂子，为什麽男女有别?!”最后还是以希伯特名义开课，由诺特代授。爱因斯坦曾在《纽约时报》撰文文中说：“诺特女士是自妇女受到高等教育以来最重要的最富于创造性的天才”。

物理定律的对称性也意味着物理定律在各种变换条件下的不变性。由物理定律的不变性，我们可以得到一种不变的物理量，叫守恆量，或叫不变数。比如空间旋转对称，它的角动量必定是守恆的；空间平移对称对应于动量守恆，电荷共轭对称对应于电量守恆，如此等等。爱因斯坦就是当年思考这个问题时，提出“在惯性参考系变换操作下，物理规律保持不变”，这个就是狭义相对性原理。进一步推广为：在任意参考系变换操作下，物理规律保持不变，这个就是广义相对性原理。

诺特定理告诉我们，一个没有对称性的世界，物理定律也变动不定。因此物理学家们已经形成一种思维定式：只要发现了一种新的对称性，就要去寻找相应的守恆定律；反之，只要发现了一条守恆定律，也总要把相应的对称性找出来。

1926年，维格纳（E.Wigner）提出了宇称守恆（Parityconservation）定律，就是把对称和守恆定律的关系进一步推广到微观世界。由巨观走向微观必然会展现事物的差异性，所以对称性破缺不可避免，而人们往往忽略这个问题。在微观世界裏，基本粒子有三个基本的对称方式：一个是粒子和反粒子互相对称，即对于粒子和反粒子，定律是相同的，这被称为电荷(C)对称；一个是空间反射对称，即同一种粒子之间互为镜像，它们的运动规律是相同的，这叫宇称(P)；一个是时间反演对称，即如果我们颠倒粒子的运动方向，粒子的运动是相同的，这被称为时间(T)对称。如果物质最基本层面的对称能够成立，那麽对称就是物质的根本属性，所以弱力环境中 的宇称守恆虽然未经验证，也理所当然地被当时认为遵循宇称守恆规律。

1956年，两位美籍华裔物理学家——李政道和杨振宁大胆提出宇称不守恆从而解决“θ-τ之谜”，并因此获得了诺贝尔奖。诺贝尔奖给他们带来无限荣誉的同时也逐渐使两人的关系走向分裂，从此再未合作过⋯⋯。

2004年杨振宁又用自己的婚姻证明了巨观世界婚姻年龄的“对称性破缺”。自从宇称守恆定律被李政道和杨振宁打破后，科学家很快又发现，粒子和反粒子的行为也并不是完全一样的，存在轻微不对称，这导致宇宙大霹雳之初生成的物质比反物质略多了一点点，大部分物质与反物质湮灭了，剩余的物质才形成了我们今天所认识的世界。1998年欧洲原子能研究中心的科研人员发现，正负K介子在转换过程中存在时间上的不对称性。至此，粒子世界的物理规律的对称性全部破碎了。

数学中的对称

对称狭义定义为：一个物体包含若干等同部分，对应部分相等。不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原的操作，称为对称性操作，物理学中也称反演操作。对称性操作主要有：旋转、反映、反演、象转、反转；旋转和反映是基本对称操作。完成对称操作的几何元素称为对称元素，包括：旋转轴，镜面，对称中心，映轴，反轴；对称轴和对称面是基本的对称元素。

1.旋转操作和对称轴

旋转操作是将分子绕通过其中心的轴旋转一定的角度使分子复原的操作，旋转所依据的对称元素为旋转轴。n次旋转轴的记号为Cn，使物体复原的最小旋转角（0度除外）称为基转角（α）称为基转角α，对Cn轴的基转角α=360°/n旋转角度按逆时针方向计算。和Cn轴相应的基本旋转操作为Ĉn 1（表示操作时，元素符号头上加个^，也很多有参考书上不加^也行），它为绕轴转360°/n的操作。分子中若有多个旋转轴，轴次最高的轴一般叫主轴。

一次轴Ĉ1的操作是个复原操作，又称为主操作或可复原操作Ê。因为任何物体在任何一方向上绕轴转360°/n均可复原，它和乘法中的1相似。C2轴的基转角是180度，基本操作是，连续进行两次相当于主操作：Ĉ2 1×Ĉ22=Ĉ22=Ê；C3轴的基转角是120度，C4轴的基转角是90度，C6轴的基转角是60度。n=2，3，4，6分别成为二度，三度，四度，六度转轴。

2.对称中心和反演操作

当分子有对称中心时，从分子中任意一原子至对称中心连一直线，将次线延长，必可在和对称中心等距离的另一侧找到另一相同原子，即每一点都关于中心对称。依据对称中心进行的对称操作为反演操作，是按照对称中心反演，记为i；n为偶数时in=E，n为奇数时in=i

3.反映操作和镜面对称

镜面是平分分子的平面，在分子中除位于经面上的原子外，其他成对地排在镜面两侧，它们通过反映操作可以复原。反映操作是每一点都关于镜面对称，记为σ；n为偶数时σn=E，n为奇数时σn=σ。和主轴垂直的镜面以σh表示；通过主轴的镜面以σv表示；通过主轴，平分副轴夹角的镜面以σd表示。

4.反轴和旋转反演操作

反轴In的基本操作为绕轴转360°/n，接着按轴上的中心点进行反演，它是C1n和i相继进行的联合操作：I1n=iC1n；绕In轴转360°/n，接着按中心反演。

5.映轴和选择反映操作

映轴Sn的基本操作为绕轴转360°/n，接着按垂直于轴的平面进行反映，是C1n和σ相继进行的联合操作：S1n=σC1n；绕Sn轴转360°/n，接着按垂直于轴的平面反映。

对称群

无法区别上下脚标理解起来比较麻烦

群的基本概念

一个分子具有的全部对称元素构成一个完整的对称元素系，和该对称元素系对应的全部对称操作形成一个对称操作群，群是按照一定规律相互联系着的一些元(又称元素)的集合，这些元可以是操作、数位、矩阵或算符等。连续做两个对称操作即和这两个元的乘法对应。 若对称操作A,B,C,…的集合G={A,B,C,…}同时满足下列四个条件，这时G形成一个群。

(1)封闭性：指A和B若为同一群G中的对称操作，则AB=C，C也是群G中的一个对称操

作。

(2)主操作：在每个群G中必有一个主操作E，它与群中任何一个操作相乘给出AE=EA=A

(3)逆操作：群G中的每一个操作A均存在逆操作A-1，A-1也是该群中的一个操作。逆操作

是按原操作途径退回去的操作。AA-1=A-1A=E

分子点群分类

在分子中，原子固定在其平衡位置上，其空间排列是对称的图象，利用对称性原理探讨分子的结构和性质，是人们认识分子的结构和 性质的重要方法。分子对称性是联系分子结构和分子性质的重要桥梁。分子点群大致可分为几类：Cn、Cnv、Cnh、Dn、Dnh、Dnd及高阶群。

1.Cn点群

Cn群只有1个Cn旋转轴。独立对称操作有n个，阶 次为n。若分子只有n重旋转轴，它就属于Cn群，群元素为{E，Cn，Cn 2…Cnn-1}。这是n阶迴圈群。最简单的点群C1只含一个主操作E， 它包括所有不对称分子和分子构型，所以这类分子都有手性。比如：CH3CH2CHBrCH3，葡萄糖等。

2.Cnh点群

Cnh群中有1个Cn轴，垂直于此轴有1个σh。阶次为2n。C1h点群用Cs记号。若分子有一个n重旋转轴和一个垂直于轴 的水準对称面就得到Cnh群，它有2n个对称操作，{E，Cn，Cn2……Cnn-1，σn，Sn2……Snn-1}包括（n-1）个旋转、一个反映面， 及旋转与反映结合的（n-1）个映转操作。当n为偶次轴时，S2nn即为对称中心。

以反式二氯乙烯分子说明C2h点群，C=C键中点存在垂直于分子平面的C2 旋转轴；分子所在平面即为水準对称面σh；C=C键中点还是分子的对称中心i。 所以C2h点群的对称操作有四个：{E，C2，σh，i}，若分子中有偶次旋转轴及垂直于该轴的水準平面，就会产生一个对称中心。

3.Cnv点群

Cnv群中有1个Cn轴,通过此轴有n个σv。阶次为2n。若分子有 n重旋转轴和通过Cn轴的对称面σ，就生成一个Cnv群。由于Cn轴的存在，有一个对称面，必然产生（n-1）个对称面。两个平面交角为π/n。它也是2n阶群。

水分子属C2v点群，C2轴经过O原子、平分∠HOH，分子所在平面是一个σv平面，另一个σv平面经过O原子且与分子平面相互垂直。与水分子类似的V 型分子，如SO2、NO2、ClO2、H2S,船式环已烷、N2H4等均属C2v点群。其它构型的C2v分子如稠环化合物菲（C14H10），茚，杂环化合物呋喃(C4H4O)吡啶 (C5H5N)等。NH3分子是C3v点群典型例子。C3轴穿过N原子和三角锥的底心， 三个垂面各包括一个N-H键。其它三角锥型分子PCl3、PF3、PSCl3、CH3Cl、 CHCl3等，均属C3v点群，P4S3亦属C3v点群。CO分子是C∞v点群典型例子。 C∞v轴穿过了C原子和O原子所在的直线，任何一个经过C原子和O原子所在的面都是其σv平面。

4.Sn和Cni点群

分子中有1个In轴，当n为奇数时，属Cni群；当n为偶数但不为4的整数倍时，属Cn/2h点群；当n为4的整数倍时，属Sn点群。分子中只含有一个映转轴Sn的点群属于这一类。映转轴所对应的操作的绕 轴转2π/n，接着对垂直于轴的平面进行反映。

S1=Cs群：S1=σ、C11=σ即S1为对称面反映操作，故S1群相当于Cs 群。即对称元素仅有一个对称面。亦可记为C1h=C1v=Cs：{E，σ}。这样的 分子不少。如TiCl2(C5H5)2，Ti形成四配位化合物，2个Cl原子和环戊烯基成对角。又如的六元杂环化合物N3S2PCl4O2亦是属于Cs对称性。

Ci群：S2=σ、C2=Ci为绕轴旋转180°再进行水準面反映，操作结果相当于一个对称心的反演。故S2群亦记为Ci群。例如Fe2(CO)4(C5H5)2，每个Fe与一个羰基，一个环戊烯基配位，再通过两个桥羰基与另一个Fe原子成键，它属于Ci对称性。S3=σC3=C3+σ

S4点群：只有S4是独立的点群。例如：1,3,5,7-四甲基环辛四烯，有一个S4映转轴，没有其它独立对称元素，一组甲基基团破坏了所有对称面及C2轴。

5.Dn点群

Dn群由1个Cn轴和垂直于此轴的n个C2轴组成，阶次为2n。 如果某分子除了一个主旋转轴Cn(n≥2)之外，还有n个垂直于Cn轴的二次 轴C2，则该分子属Dn点群。

6.Dnh点群Dnh群

由Dn群的对称元素系中加入垂直于Cn轴的σh组成。若Cn奇数轴，将产生I2n和n个σv，注意这时对称元素系中不含对称中心i。若Cn 为偶数轴，对称元素系中含有In，n个σv和i。Dnh分子含有一个主旋转轴Cn （n>2），n个垂直于Cn轴的二次轴C2，还有一个垂直于主轴Cn的水準对称面σh；由此可产生4n个对称操作：{E，Cn，Cn2，Cn 3…Cnn-1；C1(1)，C2(2)…C2(n)；σh，Sn1，Sn2，…Snn-1；σv(1)，σv(2)…σv(n)｝Cn旋转轴产生n个旋转操作，n个C2 (i)轴旋转产生n个旋转操作，还有对称面反映及（n-1）个映转操作，n个通过Cn主轴的垂面σv的反映操作。故Dnh群为4n阶群。

D2h对称性的分子亦很多，如常见的乙烯分子，平面型的对硝基苯分子 C6H4(NO2)2，草酸根离子[C2O4]2-等。

D3h：平面三角形的BBr3、CO32－、NO3 －或三角形骨架的环丙烷均属D3h点群。三角双锥PCl5、三棱柱型的Tc6Cl6(图VI)金属簇合物等也是D3h对称性。

D4h：[Ni(CN)4]2－、[PtCl4]2－等平面四边形分子属D4h对称性，典型的金属四重键分子Re2Cl8 2－，两个Re各配位四个Cl原子，两层Cl原子完全重叠，故符合D4h对称性要求。

D5h：重叠型的二茂铁属D5h对称性(平行的)，IF7、UF7离子为五角双锥构 型，也属D5h对称性。

D6h：点群以苯分子为例，苯的主轴位于苯环中心垂直于分子平面，6个二 次轴，3个分别经过两两相对C-H键，3个分别平分6个C－C键。分子平面 即σh平面，6个σv垂面分别经过6个C2轴且相交于C6轴。苯环属于D6h对 称群，共有4×6＝24阶对称操作，是对称性很高的分子。二苯铬（重叠型）也是D6h对称性。

D∞h：同核双原子分子H2、N2、O2等，或中心对称的线型分子CO2、CS2、 C2H2、Hg2Cl2等属于D∞h对称性。在分子轴线存在一个C∞轴，过分子中心又有 一个垂直于分子轴的平面，平面上有无数个C2轴⊥C∞轴，还有无数个垂面σv 经过并相交于C∞轴。

7.Dnd点群Dnd群

由Dn群的对称元素系和通过Cn有平分2个C2轴的夹角的n个σd组成。若Cn奇数轴，对称元素系中含有Cn，n个C2，n个σd，i和In，若Cn为偶数轴，对称元素系中含有Cn，n个C2，n个σd和I2n，注 意这时不包含对称中心i。一个分子若含有一个n重旋转轴Cn及垂直于Cn轴n个2次轴，即满足Dn群要求后，要进一步判断是Dnh或Dnd，首先要寻找有否 垂直于Cn主轴的水準对称面σh。若无，则进一步寻找有否通过Cn轴并平分C2轴的n个σd垂直对称面，若有则属Dnd点群，该群含4n个对称操作。以丙二烯为例说明。沿着C=C=C键方向有C2主轴，经过中心C原子垂直于C2轴的2个C2轴，与两个平面成45°交角。但不存在一个过中心D、垂直于主轴的平面，故丙二烯分子属D2d而不是D2h。D4d：一些过渡金属八配位化合物， ReF8 2－、 TaF8 3－和Mo(CN)8 3+等均形成四方反棱柱构型，它的对称性属D4d。

8.T，Th和Td点群

这些是四面体群，其特点是都含有4个C3轴，按立方体体对角线排列。T点群由4个C3，和3个C2组成。Th点群由4个C3和3个C2，3个σh（它们分别和3个C2轴垂直）和i组成。Td点群由4个C3，和3个I4（其中含有C2）和6个σd（分别平分4个C3轴的夹角）组成，注意其中不包含对称中心i。

T群：当一个分子具有四面体骨架构型，经过每个四面体顶点存在一个C3 旋转轴，4个顶点共有4个C3轴，联结每两条相对棱的中点，存在1个C2轴，六条棱共有3个C2轴，可形成12个对称操作：｛E，4C3，4C32，3C2｝。这些对称操作构成T群，群阶为12。T群是纯旋转群,不含对称面,这样的分子很少。

Th群：当某个分子存在T群的对称元素外，在垂直C2轴方向有一对称面，3个C2轴则有3个对称面，C2轴与垂直的对称面又会产生对称心。这样共有24个对称操作｛E，4C3，4C32，3C2，I，4S6，4S65，3σh｝，这个群称Th群，群阶为24。

Td群：若一个四面体骨架的分子，存在4个C3轴，3个C2轴，同时每个C2轴还处在两个互相垂直的平面σd的交线上，这两个平面还平分另外2个C2轴（共有6个这样的平面）则该分子属Td对称性。对称操作为｛E，3C2，8C3，6S4，6σd｝共有24阶。这样的分子很多。四面体CH4、CCl4对称性属Td群，一些含氧酸根SO4 2－、PO4 3－等亦是。在CH4 分子中，每个C－H键方向存在1个C3轴，2个氢原子连线中点与中心C原子间是C2轴， 还有6个σd平面。

9.O和Oh点群

这些是八面体群，其特点是都含有3个C4轴，O群由3个C4，和4个C3和6个C2组成。Oh群由3个C4，和4个 C3和6个C2，3个σh（分别和3个C4轴垂直），6个σd（分别平分4个C3轴的夹角）和i等组成。分子几何构型为立方体、八面体的， 其对称性可属于O或Oh点群。

O群：立方体与八面体构型可互相嵌套，在立方体的每个正方形中心处取一个顶点,把这六个顶点连线起来就形成八面体。经过立方体两个平行面的中心，存在1个C4旋转轴，共有3组平行面，所以有3个C4轴。通过相距最远的两个顶点有1个C3轴，共有4个C3轴，3个C4轴与4个C3轴构成了24个对称操作，{E，6C4，3C2 '，6C2，8C3}，构成纯旋转群O群。O群的C4轴对八面体构型来说，存在于两个对立顶点之间。6个顶点就有3个C4轴，联结两个平行的三角面的中心，则为1个C3轴，共有8个三角面，就有4个C3轴.。 对称性为O群的分子较少。

Oh群：一个分子若已有O群的对称元素（4个C3轴，3个C4轴），再有一个垂直于C4轴的对称面σh，同理存在3个σh对称面，有C4轴与垂直于它的水準对称面，将产生一个对称心I，由此产生一系列的对称操作，共有48个：{E，6C4，3C2，6C2'，8C3，I，6S4，3σh，6σv，8S6}这就形成了Oh群，它包括八面体和立方体。属于Oh群的分子有八面体构型的SF6、WF6、Mo(CO)6，立方体构型的OsF8、立方烷C8H8，还有一些金属簇合物对称性属Oh点群。例如Mo6Cl8

4+或Ta6Cl12 2+，这两个离子中，6个金属原子形成八面体骨架，Cl原子在三角面上配位，或在棱桥位置与M配位，还有一种立方八面体构型的分子对称性也属Oh群。

10.I和Ih点群

这些是二十面体群，其特点是都含有6个C5轴。I点群由6个C5，10个C3 或15个C2组成。Id点群由6个C5，10个C3或15个C2，15个σ和i组成。Id点群有时又称Ih 点群。正二十面体与正十二面体具有完全相同的对称操作。（将正十二面体的每个正五边形的中心取为顶点，联结起来就形成严格正二十面体。反之，从正二十面体每个三角形中心取一个顶点，联结起来就形成一个正十二面体。）

I群：现以十二面体为例说明；联结十二面体两个平行五边形的中心，即是多面体的一个C5 对称轴，共有12个面，即有6个C5轴，联结十二面体相距最近的两个顶点，则为C3轴，共有20 个顶点，故有10个C3轴。经过一对棱的中点，可找到1个C2轴，共有30条棱，所以有15个C2 轴。6个C5轴、10个C3轴、15个C2轴共同组成了I群的60个对称操作：{E，12C5，12C5 2，20C3，15C2}，I群的一个60阶的纯旋转群。属于I群的分子很少，典型的是脊髓灰质炎病毒。

Ih群：在I群对称元素基础上，增加一个对称心，即可再产生60个对称操作，形成120个对 称操作的Ih点群：{E，12C5，12C5 2，20C3，15C2，i，12S10，12S10 3，20S6，15σ}。正十二面体 和正二十面体的构结属于这个点群，C60也属Ih点群。

分子点判别

一个分子的对称性一定属于上述10类点群中的一种。首先查看是否是线性的，再查看有无多个高次轴Cn：注意有无6个C5，或3个C4，或4个C3，以区分二十面体群，八面体群，四面体群。再查看有无一个n≥2的Cn轴，n个C2轴，垂直Cn轴的σh，平分C2轴的σd，以区分Dn，Dnh，Dnd；进一步区分只有一个In轴的点群Sn和Cni；区分只有一个Cn轴的Cn，Cnh和Cn v等。

所有分子都可以归纳为这些对称点群的分类，用群论的方法来处理这样的对称性是在分子的尺度上忽略了原子的差异性的。这些分子又构成了大分子体系以及细胞和生物体，对称性并没有因为系统的非线性叠加而消失；由于系统的自相似性存在，这样的对称性在将一直延伸到 巨观世界。比如：Ih点群正二十面体的噬菌体，I点群的脊髓灰质炎病毒等都有着类似分子的对称性（忽略病毒各个面分子的差异性）。

还有水分子由于氢键连结形成的对称结构，由于空间平移的不变性在巨观表现为对称六边形的雪花；六边形结构是稳定性与对外接触吸收更多水分相 妥协结果。因为雪花的形成过程是混沌的，所以世界上没有两片完全相同的雪花，但雪花都是对称的。当然，巨观的事物相对微观的角度来观察，差异性是必然存在的；而微观的事物相对巨观的角度来观察，则是忽略这样的差异性，而表现出来的紧密对称性。

对称性的扩张

很多自然界的形状又都包含着诸多对称性操作的扩张。事物的对称性，并不仅仅是一种点 群的归纳，事物的的发展往往伴随对称性的扩张。1952年外尔（H.Weyl）提出用数学处理相似 对称的方法。他定义了两个相似变换的平面E2：一个中心扩张（简称扩张）和扩张旋转，且限 製扩张系数k>0，他使空间等距、平移和扭转分别建立了联系。即平移对称和旋转对称的迭代， 这种操作无限迭代构成Σ群。他的分析是基于满足自然界的相似性。像鹦鹉螺那样按照对数螺 旋（位矢与切线间的夹角保持恆定）其形状始终保持不变,鹦鹉螺的螺旋中暗含了菲波纳切数列， 而菲波纳切数列的两项间比值也是无限接近黄金分割数的。

在平面相似对称理论的进一步发展是许勃尼科夫(A.V.Shubnikov)，他指出所有的相似性变换平面E2：中心扩张k，膨胀旋转L和扩张反映M，都源于旋转和反映；并衍生出五种相似对称群，CnK,CnL,CnM,DnK,DnL,；DnL与DnM是一致的。更多内容可以参见SlavikV.Jablan的《对称性和装饰》、KlausMainzer的《对称性与复杂性——热情而美丽的非线性科学》以及Hermann Weyl的《对称性》。

艺术与对称

荷兰画家埃舍尔（M.C.Escher）的骑士图对镜象反射加上黑白置换和必要的平移操作才构成对称操作。对称性的扩张是通过联合对称性操作实现的，从简单到复杂，对称性的扩张也都是由几种对称性操作而组成。简单的对称点群，通过对称操作形成了复杂的对称图案，而这样的对称性扩张不仅仅是在几何意义上的。在经济学中对称性是一个功能原则；在社会学中是一个动态原则。

在社会学中对称性扩张的结果就 是平衡，例如民主与划分力量平衡的洛克自由主义影响了美国和法国的宪法。

音乐必要成分的创作是另一种艺术，这包括：结构、形式、组织、和谐、比例、平衡。是否有一个创作音乐的普遍原理，即音乐的部分组织成为一个整体？拉裏·所罗门(LarryJ.Solomon)在他的博士论文中提出一个观点，对称性就是这样的一个普遍原则。音乐的关系组成在不同国家文化、历史、种族中，大部分是基于对称性建立的。

对称性的观念并不只限于基础数学、物理，他还包括艺术，文化和经济等；对称性原则是一般性原则的决定原则。对称群中的反映、旋转和平移操作一样可以套用于其他领域。在乐谱中时间代表水準线，如果关于轴对称其结果是与原来全等，而满足了反射对称的条件。在三维轴（或三个层面，音高、时间、动态）反映成为平面，大多数音乐剧的形式只限于两个变数，我们可以在二维空间中参考他们的图样，音乐符号在音调轴和音高轴同样可以对称，音高在音符代表垂直。