概述
射影定理
直角三角形射影定理（又叫欧几裏德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。等积式 (4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）
直角三角形的射影定理
所谓射影，就是灯光投影。直角三角形射影定理（又叫欧几裏德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。[1]
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
射影定理（1）BD²=AD·DC，（2）AB²=AD·AC ，（3）BC²=CD·CA。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明） (5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD[1]
直角三角形射影定理的证明
射影定理简图(几何画板)
：（主要是从三角形的相似比推算来的） 一、
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD²=AD·DC。其余同理可得可证[1]
由射影定理如下
AB²=AD·AC，BC²=CD·CA
两式相加得：
AB²+BC²=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC² .
即勾股定理。[1] 注： AB²的意思是AB的2次方
已知:三角形中角A=90度,AD是高.
证明
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且
BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.同理可证其余。
证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.同理可证其它的。
用勾股证射影
∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,
∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.
故AD²=BD×CD.
运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,
AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。[1]
任意三角形内容
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：
△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cosC+c·cosB，
b=c·cosA+a·cosC，
c=a·cosB+b·cosA。
注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
射影定理
面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。”
COSθ=S射影/S原
(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)
证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那麽这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那麽三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。
