布尔表达式

介绍

最简单的布尔表达式是等式（equality）。这种布尔表达式用来测试一个值是否与另一个值相同。它可以是一个简单的等式，例如：

2 == 4

上面这个布尔表达式的值是false，因为2和4不相等。它也可以是複杂的等式，如：

MyObject.MyProperty == YourObject.YourProperty

这个等式的值是不确定的，可能取真值也可能取假值，只有在程式运行时才能确定。如果你对C、C++甚至C#比较熟悉的话，就会知道上式中的= = （双等号） 是一个逻辑布尔操作符，而= （单等号）是用来对变数赋值的赋值操作符。程式设计师有时会将这两个操作符放错位置，这是一个导致程式在编译时或运行时出错的常见原因。

概述

布尔表达式是布尔运算量和逻辑运算符按一定语法规则组成的式子。　n逻辑运算符通常有∧、∨、﹃三种（在某些语言中，还有≡（等价）及→（蕴含）等等）；

逻辑运算对象可以是逻辑值（True 或False）、布尔变数、关係表达式以及由括弧括起来的布尔表达式。

不论是布尔变数还是布尔表达式，都只能取逻辑值True或False。在计算机内通常用1（或非零整数）表示真值（True），用0表示假值(False)。

关係表达式是形如E1 Rop E2的式子，其中E1和E2为简单算术表达式，Rop 为关係运算符（<, >, =, <=, >=, <> ）。若E1和E2之值使该关係式成立，则此关係表达式之值为True ，否则为False 。

作用

布尔表达式的语义在于指明计算一个逻辑值的规则；

布尔表达式在程式设计语言中有两个基本的作用：

一是在某些控制语句中作为实现控制转移的条件；

另一个则是用于计算逻辑值本身。

约定:各类运算符的优先顺序（由高至低）如下：

⒈括弧

⒉算术运算符 *(乘法) / （除法） +（加法） -（减法） %（模）（返回一个除法的整数余数，例如：12%5=2，这里是因为12除以5的余数是2）

⒊关係运算符 <（小于）、<=（小于等于）、=（等于）、>（大于）、>=（大于等于）、<>（不等于）

⒋逻辑运算符 ┒ ∧ ∨

3. 布尔表达式的等价解释-求值角度

为了方便起见，下面我们仅讨论由文法

E→ E∧E | E∨E | ┑E | (E) | I | i Rop i (5.1)

可採用类似算术表达式的方式来进行。例如，对于布尔表达式A∨B∧C，可翻译为：

(∧, B, C, T1 )

(∨, A, T1, T2 )

过程角度

对于一个布尔表达式而言，我们的目的仅仅是为了判定它的真假值。因此，有时只需计算它的一个子表达式，便能确定整个布尔表达式的真假值。例如，对于A∨B，只要知道A为真，则无论B取何值，表达式的结果一定为真。

可见，对于三种常见逻辑运算，可作如下等价的解释：

A∧B —(A) ? B : 0 (5.2)

A∨B —(A) ? 1 : B (5.3)

﹃A (A) ? 0 : 1 (5.4)

出口

对于布尔表达式A∨（B∧（┑C∨D）)，其等价的表述是

A ？1 ：（B ？（（C ？0 ：1）？ 1 ：D ）：0 ）

显然，採用此种结构可产生更为有效的中间代码。这里需假定原布尔表达式的计算过程中不含有任何的副作用。

在上式的计算中，根据A、B、C、D的取值不同，计算的结果以及运算的终止点亦不同。例如，当A=1（真）时，结果为1且终止于左边第一个‘1’处。

这样终止的点我们称为该布尔表达式的出口，同时，把使布尔表达式取值为真的出口称为真出口，反之称为假出口。

对一个布尔表达式而言，它至少有一个真出口和一个假出口（当然可以有多个）。在用于控制流程的布尔表达式E的计算中，这些出口分别指出当E值为真和假时，控制所应转向的目标（即某一四元式的序号）。

表达式

if E then S1 else S2或while E do S

确定

一个布尔表达式E的真假值的确定，是在语法翻译过程中，根据(5.2)-(5.4)等价解释式逐步进行的。

例如，对于布尔表达式 E = E(1)∨E(2)

若E(1)为真，则E必为真，故E(1)的真出口必是E的真出口(之一);

若E(1)为假，则E的真假值取决于E(2)的真假值，此时，需对E(2)进行计算，由此可见，E(1)的假出口应为E(2)对应的四元式的序号(E(2)的入口)，同时,E(2)的真、假出口也是E的真、假出口。

类似地，可确定E(1)∧E(2)、﹃E及更複杂的表达式的真、假出口。

译结果

在设计布尔表达式翻译算法（即编写语义动作）时，可定义和使用如下三类四元式：

(jnz, A1, ,p)—当A1为真(非零)时，转向第p四元式；

(jrop,A1,A2,p)当关係A1 rop A2成立时，转向第p四元式；

(j, , ,p)无条件转向第p四元式

例如，对于条件语句

if A∨B

经翻译后，可得四元式序列：

(1) (jnz, A, -, 5)

(2) (j, - ,- , 3)

(3) (j<, B, C, 5)

(4) (j, -, -, p+1)

(5) S1相应的四元式序列

(p) (j, -, -, q)

(p+1) S2相应的四元式序列

(q) …

其中，表达式A的真出口为5（也是整个表达式的真出口），假出口为3（即表达式B

拉链回填

在自底向上的语法制导翻译时（或者说，在S-属性翻译文法中), 在产生一个(无)条件转移四元式时, 它所要转向的那个四元式有时尚未产生，故无法立即产生一个完全的控制转移四元式。

例如，在上例中，在产生第一个四元式时，由于语句S1的中间代码尚未产生，即A的真出口确切位置并不知道，故此时只能产生一个空缺转移目标的四元式 (jnz,A,-,0),

并将此四元式的序号(即1)作为语义信息存起来，待开始翻译S1时，再将S1的第一四元式的序号(即5)回填这个不完全的四元式。

另外，在翻译过程中，常常会出现若干转移四元式转向同一目标，但此目标的具体位置又尚未确定的情况，此时我们可将这些四元式用拉链的办法将它们连结起来，用一指针指向链头，在确定了目标四元式的位置之后，再回填这个链。

n对于一个布尔表达式E来说，它应有两条链：真出口链(称为T链，记作TC)和假出口链(称为F链，记作FC)。它们就是非终结符Expr的两个属性Expr . TC及Expr . FC。

n例如，对于上述if语句中的布尔式E=A∨B

n其中，每条链都是利用四元式中的Result域连线的，Result >0时,它给出本链的后继四元式的序号，Result =0时表示本四元式是链尾结点。

拆分

n为便于实现布尔表达式的语法制导翻译，我们先改写文法，以便能在翻译过程中的适当时机获得所需的语义属性值。例如，可将文法(5.1)改写为：

qExpr®Expr^ Expr | Expr∨ Expr | ﹃ Expr|

iden |iden Rop iden | ( Expr )

Expr^ ® Expr ∧

Expr∨® Expr ∨ (5.7)

n将文法进行“拆分”的目的:

1.在翻译完运算符∧（∨）左侧的表达式后，能够及时获取其语义属性TC及FC

2.完成用下一四元式序号（即运算符右侧表达式的第一四元式之序号）回填前一表达式的相应真（假）链TC（FC），

3.将其另一链FC（TC）作为产生式左部符号的综合属性FC（TC）传播之。

语义函式

1.NXQ—全局变数，用于指示所要产生的下一四元式的序号；

2.GEN（…）—其意义同前,每次调用,NXQ++；

3. int Merge(int p1,int p2)—将链首“指针”分别为p1和p2的两条链合併为一条，并返回新链的链首“指针”（此处的“指针”实际上是四元式的序号，应为整型值）我们假定四元式是以一结构形式表示（存储）的：

struct _Quadruple{

int Op, arg1, arg2, Result;

} QuadrupleList[];

4.void BackPatch(int p,int t)—用四元式序号t回填以p为首的链，将链中每个四元式的Result域改写为t的值。

函式Merge( )及BackPatch( )的程式见书

属性文法

1.Expr→iden { $$.TC= NXQ; $$.FC= NXQ+1; GEN(jnz, Entry($1), 0, 0); GEN(j,0,0,0); }

| iden rop iden { $$.TC= NXQ; $$.FC= NXQ+1;

GEN(jrop, Entry($1), Entry($3), 0);

GEN(j, 0, 0, 0); }

| ‘(’ Expr ‘)’ { $$.TC= $2 . TC; $$.FC= $2.FC; }

| ‘﹃’ Expr { $$.TC= $2.FC; $$.FC= $2 . TC; }

| Expr^ Expr

{ $$.TC= $2 . TC; $$.FC=Merge($1.FC,$2.FC); }

| Expr∨ Expr

{ $$.FC= $2.FC; $$.TC=Merge($ 1 . TC,$2 . TC); }

| Expr^→ Expr ‘∧’

{ BackPatch($ 1 . TC,NXQ); $$.FC= $1.FC; }

| Expr∨→ Expr ‘∨’

{BackPatch($1.FC,NXQ); $$.TC= $ 1 . TC; }

例子

将布尔代数<{0,a,b,1},∧,∨,',0,1>上的布尔表达式f(x1,x2) = ((a∧x1)∧(x1∨x'2))∨(b∧x1∧x2)化为主析取範式和主合取範式。

解　f(x1,x2) = ((a∧x1)∧(x1∨x'2))∨(b∧x1∧x2)

= (a∧(x1∧(x1∨x'2)))∨(b∧x1∧x2)

= (a∧x1)∨(b∧x1∧x2)

= (a∧x1∧(x2∨x'2))∨(b∧x1∧x2)

= (a∧x1∧x2)∨(a∧x1∧x'2)∨(b∧x1∧x2)

= (a∧x1∧x'2)∨((a∨b)∧x1∧x2)

= (a∧x1∧x'2)∨(x1∧x2)

= (a∧m2)∨m3。（主析取範式）

f(x1,x2) = ((a∧x1)∧(x1∨x'2))∨(b∧x1∧x2)

= (a∧(x1∧(x1∨x'2)))∨(b∧x1∧x2)

= (a∧x1)∨(b∧x1∧x2)

= (a∨(b∧x1∧x2))∧(x1∨(b∧x1∧x2))

= (a∨b)∧(a∨x1)∧(a∨x2)∧x1

=x1∧(a∨x2)

= (x1∨(x2∧x'2))∧(a∨(x1∧x'1)∨x2)

= (x1∨x2)∧(x1∨x'2)∧(a∨x1∨x2)∧(a∨x'1∨x2)

= (x1∨x2)∧(x1∨x'2)∧(a∨x'1∨x2)

=M0∧M1∧(a∨M2)。（主合取範式）