幂运算
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中文名称
幂运算
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外文名称
Exponentiation
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提出者
徐光啓
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套用学科
高等数学
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适用领域範围
精确计算领域
摘要
幂的运算
一、教学内容： 1.同底数幂的乘法 2.幂的乘方与积的乘方 3.同底数幂的除法 二、技能要求： 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。 三、主要数学能力 1．通过幂的运算到多项式乘法的学习，初步理解“特殊——一般——特殊”的认识规律，发展思维能力。 2．在学习幂的运算性质、乘法法则的过程中，培养观察、综合、类比、归纳、抽象、概括等思维能力。 四、学习指导 1．同底数幂的乘法：am·an=am+n (m, n是自然数) 同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运演算法则，也是整式乘法的主要依据之一。学习这个法则时应注意以下五个问题： （1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 （2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如： (2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。 （3）指数都是正整数 （4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·ap....=am+n+p+... (m, n, p都是自然数)。 （5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如： x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加， 如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。 例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5 解：(1) (- )(- )2(- )3 分析：①(- )就是(- )1，指数为1 =(- )1+2+3 ②底数为- ，不变。 =(- )6 ③指数相加1+2+3=6 = ④乘方时先定符号“+”，再计算 的6次幂 解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5 分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂 =-(-a)4·(-a)3·(-a)5 可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂 =-(-a)4+3+5 ②本题也可作如下处理： =-(-a)12 -a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5) =-a12 =-(a4·a3·a5)=-a12 例2．计算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6 解：(x-y)3(y-x)(y-x)6 分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂 =-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6 =-(x-y)3+1+6 变为(x-y)为底的同底数幂，再进行 =-(x-y)10 计算。 例3．计算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4 解：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4 分析：①先做乘法再做减法 =x5+n-3+4-3x2+n+4 ②运算结果指数能合并的要合并 =x6+n-3x6+n ③3x2即为3·(x2) =(1-3)x6+n ④x6+n，与-3x6+n是同类项， =-2x6+n 合并时将系数进行运算(1-3)=-2 底数和指数不变。 2．幂的乘方(am)n=amn，与积的乘方(ab)n=anbn (1)幂的乘方，(am)n=amn，(m, n都为正整数)运用法则时注意以下以几点： ①幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。如[(x+y)2]3的底数为(x+y)，是一个多项式， [(x+y)2]3=(x+y)6 ②要和同底数幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。如： (a3)4=a7； [(-a)3]4=(-a)7； a3·a4=a12 (2)积的乘方(ab)n=anbn，（n为正整数）运用法则时注意以下几点： ①注意与前二个法则的区别：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得的幂相乘。 ②积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方，如：(-3a2b)3 如(a1·a2·…….an)m=a1m·a2m·…….anm 例4．计算：①(a2m)n ②(am+n)m ③(-x2yz3)3 ④-(ab)8 解：①(a2m)n 分析：①先确定是幂的乘方运算 =a(2m)n ②用法则底数a 不变指数2m和n相乘 =a2mn ②(am+n)m 分析：①底数a不变，指数(m+n)与m相乘 =a(m+n)m = ②运用乘法分配律进行指数运算。 ③(-x2yz3)3 分析：①底数有四个因式：(-1), x2, y, z3 =(-1)3(x2)3y3(z3)3 分别3次方 =-x6y3z9 ②注意(-1)3=-1, (x2)3=x2×3=x6 ④-(ab)8 分析：①8次幂的底数是ab。 =-(a8b8) ②“-”在括弧的外边先计算(ab)8 =-a8b8 再在结果前面加上“-”号。 例5．当ab= ，m=5, n=3, 求(ambm)n的值。 解：∵ (ambm)n 分析：①对(ab)n=anbn会从右向左进行逆 =[(ab)m]n 运算 ambm=(ab)m =(ab)mn ②将原式的底数转化为ab，才可将ab ∴ 当m=5, n=3时， 代换成 。 ∴ 原式=( )5×3 ( )15应将 括起来不能写成 15。 =( )15 例6．若a3b2=15，求-5a6b4的值。 解：-5a6b4 分析：a6b4=(a3b2)2 =-5(a3b2)2 套用(ab)n anbn =-5(15)2 =-1125 例7．如果3m+2n=6，求8m·4n的值。 解：8m·4n 分析：①8m=(23)m=23m =(23)m·(22)n 4n=(22)n=22n =23m·22n ②式子中出现3m+2n可用6 =23m+2n 来代换 =26=64 3. 同底数幂的除法： （1）同底数幂的除法：am÷an=am-n (a≠0, m, n均为正整数，并且m>n) ①同底数幂的除法是整式除法的基础，要熟练掌握。同底数幂的除法法则是根据除法是乘法的逆运算归纳总结出来的，和前面讲的幂的运算的三个法则相比，在这裏底数a是不能为零的，否则除数为零，除法就没有意义了。又因为在这裏没有引入负指数和零指数，所以又规定m>n。能从特殊到一般地归纳出同底数幂的除法法则。 ②同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数与除式的指数相等，那麽商等于1，即am÷am=1,m是任意自然数。a≠0, 即转化成a0=1(a≠0)。 ③同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数小于除式的指数，即m-n<0时，指数部分为负整数则转化成负整数指数幂，再用负整数指数幂法则。 ④要注意和其它几个幂的运演算法则相区别。 ⑤还应强调：am·an=am+n与am+n÷an=am的互逆运算关系，同时指数的变化也是互逆运算关系，应沟通两者的联系。 （2）零指数：a0=1 (a≠0) ①条件是a≠0，00无意义。 ②它是由am÷an=am-n当a≠0，m=n时转化而来的。也就是说当同底数幂相除时，被除式指数与除式的指数相等时即转化成零指数幂，它的结果为1。 （3）负整数指数幂：a-p= (a≠0, p是正整数） ①当a=0时没有意义，0-2, 0-3都无意义。 ②它是由am÷an=am-n 当a≠0, m
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