性质
平行四边形的性质:
(1):平行四边形对边分别相等;
(2):平行四边形对边分别平行;
(3):平行四边形对角分别相等;
(4):平行四边形对角线互相平分;
(5):平行四边形邻角互补
符号表示为
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD AD∥BC
AB=CD AD=BC
∠A=∠C ∠B=∠D
(此中未体现对角线平分与邻角互补)
判定方法
平行四边形的判定方法
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法);
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形;
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(例题3)
5.所有邻角(每一组邻角)都互补的四边形是平行四边形;
例题
例1
已知，在四边形ABCD中， ∠A=∠C，AB∥CD。求证:四边形ABCD是平行四边形。
证明:∵∠A=∠C，AB∥CD(已知）
∴∠B=∠D(等角的补角相等)
∵∠A=∠C（已知）
∠B=∠D（已证）
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)
例2
如图１，已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8.
(1)若AO⊥BD，试求四边形ABCD的面积;
(2)若AC与BD的夹角∠AOD=60° ，求四边形ABCD的面积;
(3)试讨论:若把题目中"平行四边形ABCD"改为"四边形ABCD"，且∠AOD=θ
AC=a ，BD=b ，试求四边形ABCD的面积(用含θ，a，b的代数式表示).
解:(1)∵AC⊥BD（已知
∴S四边形ABCD=1/2AC×BD
=1/2×10×8
=40
(2)过点A分别作AE⊥BD，垂足为E
∵四边形AB CD为平行四边形AO=CO=1/2AC=5， 图１
BO=DO=1/2BD=4
在Rt⊿AOE中， sin∠AOE=AB/AO
∴ AE=AO×sin ∠AOE=AO×sin60°=5×√3/2=5√3/2
∴S△AOD=1/2OD×AE=1/2×4×√3/2×5=5√3
∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20√3
(3)如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F在Rt⊿AOE中，sin∠AOE=AE/AO
第3问图∴ AE=AO×sin∠AOE=AO×sinq
同理可得 CF=CO×sin∠COF=CO×sinq
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=1/2BD×AE+1/2BD×CF
=1/2BD×sinq(AO+CO)
=1/2BD×ACsinq
=1/2absinq
〔3〕如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证:四边形AFCE是平行四边形.
分析: 由四边形ABCD是平行四边形，可得，CE∥AF，∠DAB=∠DCB，又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，所以∠2=∠3，可证四边形AFCE是平行四边形.
解答:
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，
(3)∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，∴∠2=∠3，
又∠3=∠CFB，
∴∠2=∠CFB，
∴AE∥CF，
又CE∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
例3
在四边形ABCD中，已知∠A=∠C，∠B=∠D,求证四边形ABCD为平行四边形。
证明:∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°
∴2(∠A+∠B)=360°
∴∠A+∠B=180°
即AD∥BC
同理，可得AB∥CD
∴四边形ABCD为平行四边形
过平行四边形对角线的交点任一直线平分平行四边形的面积。
例4
已知任意四边形ABCD，且线段AB，BC,CD,DA,AC,BD的中点分别是E,F,G,H,P,Q(1)若四边形ABCD如图①，判断一些结论是否正确(要写出为什麽) 甲:顺次连线E,F,G,H一定得到平行四边形。 乙;顺次连线E,Q,G,P一定得到平行四边形。(2)若四边形ABCD如图②，请你判断(1)中的两个结论是否成立(也要写出理由，有过程)
答 (1)甲:一定会得到平行四边形因为E,F,G,H分别为AB,BC,CD，DA中点所以EF=0.5AC=GH GF=0.5BD=EH(且平行，因为三角形两条边的中点的连线平行且等于另外一条边的一半。)所以EF平行且等于GH GF平行且等于EH所以连线EFGH会得到一个平行四边形。
乙:因为E,Q,G,P分别为AB,BD,CD，CA中点所以EQ平行且等于0.5AD平行且等于GP GQ平行且等于0.5BC平行且等于EP所以EQ平行且等于GP GQ平行且等于EP所以连线EQGP会得到一个平行四边形。
(2)是同样的理论，将图画出来，带进去看就知道了
