平面图

测绘学

平面图是地图的一种。当测区面积不大，半径小于10公裏（甚至25公裏）的面积时，可以水準面代替水準面。在这个前提下，可以把测区内的地面景物沿铅垂线方向投影到平面上，按规定的符号和比例缩小而构成的相似图形，称为平面图。

虽然地球表面是个曲面，但在极小的範围内，可以把它当做平面，因为地面实形和图上实形间的误差已经非常小，可以忽略不计（如在2600KM2的範围内进行地行测量，要绘成1∶5000的大比例尺图上，半径误差小到0.072mm）。在平面图上，各种图形和面积都应保持与实物完全相似，各个方向的比例尺统一。在图上应反映出地物确切的位置、大小和相互间的距离。可以根据比例尺量算距离，用指向标来确定方向。

平面图 一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交面、边界和面的次数 由连通平面图G的边围成的其内部不含G的结点和边的区域是面，常用r表示. 围成面的各边组成的回路是边界. 边界回路的长度是面的次数，记作deg(r).

平面图定义：将地面上各种地物的平面位置按一定比例尺、用规定的符号缩绘在图纸上，并注有代表性的高程点的这种图。

房屋建筑学

建筑平面图简称平面图，是建筑施工中比较重要的基本图。平面图是建筑物各层的水準剖切图，假想通过一栋房屋的门窗洞口水準剖开（移走房屋的上半部分），将切面以下部分向下投影，所得的水準剖面图，就称平面图。

建筑平面图既表示建筑物在水準方向各部分之间的组合关系，又反映各建筑空间与围合它们的垂直构件之间的相关关系。    

图论

概述

在图论中，平面图是可以画在平面上并且使得不同的边可以互不交叠的图。而如果一个图无论怎样都无法画在平面上，并使得不同的边互不交叠，那麽这样的图不是平面图，或者称为非平面图。完全图K5 和完全二分图K3,3 是最“小”的非平面图。

平面图的条件

离散数学【平面图】

*|欧拉公式：

1个联通分支：

顶点数 - 边数 + 面数 = 1 + 1

推广到n个联通分支：

顶点数 - 边数 + 面数 = 联通分支数 + 1

*|握手定理对偶

平面图所有面的次数和 = 2 x 边数完全图K5（五角星） 和完全二分图K3,3 是【极小非平面图】.

【极大平面图】是【连通】的，并且阶数n≥3时，没有割点和桥

设G是n（n≥3）阶【简单连通】的平面图，G为【极大平面图】<=>G的每个面的次数均为3.

一个连通分支：

设G是连通的平面图，且每个面的次数至少为l (l≥3)，则G的边数m与顶点数n有

m≤l*(n-2)/(l-1-1)

推广到k个连通分支：

m≤l *(n-k-1)/(l-2)(边数≤最小次数*(点数-连通分支数-1)/(最小次数-2))

设G是n(≥3)阶m条边的【简单平面图】，则 m≤3n-6 (边数≤3x点数-6)

设G是n(≥3)阶m条边的【极大平面图】，则m=3n-6 (边数=3x点数-6)

设G是【简单平面图】，则G的最小度δ≤5

库拉托夫斯基定理

波兰数学家卡齐米日·库拉托夫斯基提出的一类禁忌準则（指满足某种条件的图就一定无法具有某个性质）中，也包括了平面图的情况。他提出的一个定理说明：

一个有限图（顶点数和边数有限的图）是平面图当且仅当它并不包含一个是（有五个顶点的完全图）或（三个顶点的二部图）的分割的子图。

其中，一个图A是另一个图B的分割是指：A是在B的基础上，在某些边的中间加上顶点

而得到的新的图。用图的同胚理论来说，就是：一个有限图是平面图当且仅当这个图不包含任何同胚于 或 的子图。

这个定理的一般化是罗伯森－西摩定理。

欧拉公式

一个平面图将平面分成若干个互不相通的封闭区域，以及图的外部的区域。其中，图的外面的区域称为图的外部面，而图裏面每个被顶点和边分割出来的封闭并连通的区域称为图的内部面。围成每个面图的每个面至少对应着三条边。

平面图的顶点个数、边数和面的个数之间有一个以大数学家莱昂哈德·欧拉命名的公式：

V-E+F=C+1

其中，V是顶点的数目，E是边的数目，F是面的数目，C是组成图形的连通部分的数目。当图是单连通图的时候，公式简化为：

V-E+F=2

测绘学总类