异面直线

概念

异面直线概念

定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines)。特点:既不平行，也不相交。

判定方法

(1)定义法:由定义判定两直线永远不可能在同一平面内。

(2)定理:经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线，是异面直线。

例证:

判定定理:平面的一条交线与平面内不经过交点的直线互为异面直线。

已知:AB∩α=A，CD⊂α，A∉CD。求证:AB和CD互为异面直线。

证明:假设AB和CD在同一平面内，设这个平面是β。即A∈β，CD⊂β。

∵A∈α，CD⊂α，A∉CD

由不在同一直线上的三个点确定一个平面可知，α和β重合。

∵AB⊂β

∴AB⊂α，这与已知条件AB∩α=A矛盾。

∴AB和CD不在同一平面内，即AB和CD互为异面直线

相关定义

两条异面直线所成的角

直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A//a,B//b,相交直线A，B所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角。角可取的範围在(0，π/2]。

两条异面直线垂直

如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直。

两条异面直线的公垂线

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线，有且只有一条。

两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段;公垂线段的长度d，叫做两条异面直线的距离。

与两条异面直线的距离都相等的点的集合是双曲抛物面。

若两条异面直线之间的距离为d，夹角为α，通过其中一条直线的平面绕其转一周，那麽另一条直线与该平面的交点在该平面上的轨迹是双曲线:x^2 - y^2 tan^2 α = d^2。其中，坐标系是以作为轴的直线为y轴，公垂线的垂足为原点。

该定理也可用来证明单叶双曲面是直纹面。