研究背景
对一个大整数求倒数，用牛顿法可以快速达到很高的精度，但需要的空间很大。如果求一个10^300数量级的质数p的倒数，其循环节长度有可能达到p-1，没有一台计算机的记忆体能够储存整个循环节的数据。如果用普通的除法，只需储存余数，占用的记忆体不大，可却可能要计算p-1次，不可能算完。则只要有循环节的长度就可以，不用输出循环节的内容，这种方法解决了这个问题。另外，这个问题的另一种描述是：给定大整数n（可能是质数也可能是合数,且不知道这个数的分解形式），求最小的k使10^k ≡1 (mod n),对a^k ≡1 (mod n)，若n与a互素,求分母n的欧拉函式值ψ(n).那么循环节长度k必是ψ(n)的约数；若n与a有公因子，显然无解。根据这个性质，对每个约数试验就可以了。
ψ(n)的求法：
设n=p1^c1*p2^c2*...*pk^ck（pi为素数），
那么ψ(n)=(p1-1)*p1^(c1-1)*(p2-1)*p2^(c2-1)*...*(pk-1)*pk^(ck-1)。
因此求ψ(n)与将n因数分解密切相关，如果n有300位的话，对300位数分解是困难的。当然,以上只是对a^k ≡1 (mod n)（a为与n互素的任意数）形式来讨论的。如果a=2，可能有更好的办法。
事实上提出这个问题的初衷，是发现大数分解问题可以转化为求一个大数的倒数的循环节的长度
给定n，在RSA加密中，n肯定是两个质数的积。设n=p*q，此时1/n的循环节的长度l|gcd(p-1,q-1)。
假定知道l的因数分解，l=l(1)^c(1）*l(2)^c(2)*...*l(k)^c(k)，则l有∏[c(i)+1]个约数，将这些约数分别加上1，如果某个约数y(j)加一后是质数，则y(j)+1有可能是n的约数。对所有 当然l也可能是一个很大的数,但对n为奇数的情况，l必为偶数。可以先除去所有因数2，甚至其他较小的素因子，得到l '，然后再用相同的办法求1/l '的循环节长度l(2)...。 即使在最坏的情况下，也有l ' 小数化分数分成两类： （1）纯循环小数化分数，循环节做分子 连写几个九作分母，循环节有几位写几个九。例：0.3（3循环）=3/9（循环节的位数有一个，所以写一个9） 0.347（347循环）=347/999（3位循环节写3个9） （2）混循环小数化分数，小数部分减去不循环的数字作分子 连写几个9再紧接着连写几个0作分母，循环节是几个数就写几个9，不循环（小数部分）的数是几个就写几个0。例如，0.2134（34循环）=（2134-21）/9900。 方法一：按照循环小数的意义来确定。即根据“一个无限小数，如果它的小数部分从某一位起，都是由一个或者几个数字依次不断地重複出现，这样的小数叫做循环小数。”这一意义来确定循环小数的循环节。例如：13÷99=0.1313……，这个商就是一个循环小数，它的循环节是13。 方法二：可以用看余数的方法来确定循环小数的循环节。例如：11÷9=1.……2。我们通过竖式计算可看出：余数“2”重複出现，商就重複出现，那么循环节就是从第一次出现余数“2”所得的商“2 ”。所以我们可以用看余数的方法来确定循环节。 如3.43535……是无限循环小数，可以简写为3.435（35循环），它的循环节是35。表示方法
循环节的判断
判断一个小数是否循环小数，其关键是首先判断这个小数是否无限小数，其次看这个小数 的小数部分是否有重複出现的数字，但是如何正确判断小数部分重複出现的数字，可根据以下几点进行判断：循环小数
