简介
微分几何微分几何研究微分流形的几何性质，是现代数学中一主流；是广义相对论的基础，与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。
古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。
近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。
微分几何是数学的一个重要分支，它起源于微积分在几何上的套用，并与微分方程，复分析，代数，拓扑以及理论物理等相互渗透成为推动这些理论发展的一项重要工具。此外，微分几何在机械工程，力学等领域有广泛套用。
产生
微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。
十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分套用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的套用》一书，这是微分几何最早的一本着作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益成长的要求是促进微分几何发展的因素。
1827年，高斯发表了<关于曲面的一般研究>的着作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。
1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了<埃尔朗根纲领>，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的义大利学派所发展。
随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的套用，逐渐在数学中成为独具特色、套用广泛的独立学科。
内容
大学大学部的微分几何内容包括两部分：局部理论和整体理论。
微分几何的局部理论研究三维欧氏空间中的曲线和曲面在一点附近的性质，其中的一个主要问题是寻求几何不变数并确定这些不变数能在什麽程度刻划曲线和曲面。这就是所谓曲线论和曲面论基本定理的内容。局部微分几何的一个裏程碑是Gauss关于曲面的理论，他建立了基于曲面第一基本形式的几何，并把欧几裏得几何推广到曲面上“弯曲”的几何。由此开创了曲面的内蕴几何学的研究，使微分几何成为一门真正独立的学科。Riemann将Gauss的理论推广到高维空间而创立了Riemann几何并为Einstein的广义相对论奠定了基础。
二十世纪三四十年代发展起来的整体微分几何，其中的一个重要部分是讨论流形的曲率是如何影响流形的拓扑乃至度量性质。这方面最早的结果是Gauss-Bonnet定理，它表明曲面的Euler示性数能用Gauss曲率的积分表示。而微分几何中的刚性问题讨论曲率等如何确定流形的度量性质。
微分几何微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何裏，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小範围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的範围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的套用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论套用方面，都充分套用了微分几何学的理论。
分支
算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函式论、概率和数理统计、复变函式论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学；
黎曼几何
黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象—有额外结构的光滑流形，他们因此无穷小得看起来像欧几裏得空间。这使得欧几裏得几何的诸如函式的梯度，散度，曲线的长度等概念得到了推广；而无须假设空间整体上有这麽对称。
复几何
研究的对象是复流形。这是一类有着可积的近复结构的微分流形。因为非奇异的复代数簇自然的是复流形，因此与复代数几何有着紧密的联系。
辛几何
这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式（也就是，一个闭的非退化2-形式）的微分流形。
切触几何
这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说，在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式α使得处处非退化。
芬斯勒几何
芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象—这是一个有芬斯勒度量的微分流形，也就是切空间被赋予了巴拿赫範数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。
相关人物
“微分几何之父”陈省身
陈省身1930年毕业于南开大学，1934年毕业于清华大学研究院，其后赴德国汉堡大学深造。他曾任教于西南联合大学、美国普林斯顿大学、芝加哥大学和加州大学伯克利分校，是原中央研究院数学所、美国国家数学研究所、南开数学研究所的创始所长。陈省身开创并领导着整体微分几何、纤维丛微分几何、“陈省身示性类”等领域的研究，他是有史以来唯一获得世界数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华人，被称为“当今最伟大的数学家”，被国际数学界尊为“微分几何之父”。国际数学大师、中科院外籍院士陈省身在天津病逝，享年93岁。
