简介
在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变数的改变数 映射到变化量的线性部分的线性映射 。这个映射也被称为切映射。给定的函式在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。在数学中，微分是对函式的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函式自变数的取值作足够小的改变时，函式的值是怎样改变的。当某些函式
的自变数 有一个微小的改变 时，函式的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变数的变化量 ，可以表示成 和一个与 无关，只与函式 及 有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在 上的值。另一部分是比 更高阶的无穷小，也就是说除以 后仍然会趋于零。当改变数很小时，第二部分可以忽略不计，函式的变化量约等于第一部分，也就是函式在 处的微分，记作 或 。如果一个函式在某处具有以上的性质，就称此函式在该点可微。不是所有的函式的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函式在某一点无法做到可微，便称函式在该点不可微。
定义
微分法定义如下：
设函式
在某区间 内有定义。对于 内一点 ，当 变动到附近的 （也在此区间内）时，如果函式的增量 可表示为 （其中 是不依赖于 的常数），而 是比高阶的无穷小，那么称函式 在点 是可微的，且 称作函式在点 相应于自变数增量 的微分，记作 ，即 ， 是 的线性主部。通常把自变数
的增量 称为自变数的微分，记作 ，即 。（函式在一点的微分，其中红线部分是微分量
，而加上灰线部分后是实际的改变数 。）几何意义
设
是曲线 上的点 在横坐标上的增量，是曲线在点 对应 在纵坐标上的增量， 是曲线在点 的切线对应 在纵坐标上的增量。当 很小时， 比 要小得多(高阶无穷小)，因此在点 附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。微分法则
和求导一样，微分有类似的法则，例如，如果设函式
、 可微，那么：1)
2）
3）
，4）若函式
可导，那么 。微分法与微分形式
如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函式的再推广。微分函式对每个点
给出一个近似描述函式性质的线性映射 ，而微分形式对区域 内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式： 。在坐标记法下，可以写成：其中的
是-射影运算元，也就是说将一个向量射到它的第个分量的映射。而是满足：的k-形式。特别地，当
是一个从映射到的函式时，可以将写作：正是上面公式的一个特例。
