微分流形

概念

参见条目:流形

具体说来,设M是一个豪斯多夫拓扑空间。U是M的开集,h是U到n维欧氏空间R的开集(常取为单位球内部或立方体内部等等)上的一个同胚对应,则(U，h)称为一个坐标图,U称为其中点的一个坐标邻域。设M为开集系{Uα}所覆盖,则(Uα,hα)的集合称为M的一个坐标图册。如果M的坐标图册中任何两个坐标图都是C相关的,则称M有C微分结构,又称M为n维的C微分流形。C相关是指流形M上同一点的不同坐标之间的变换关系是C可微分的(k=0,1,…,∞或ω)，依通常记号C表示解析函式。具体来说, 如p∈Uα∩Uβ,(x,)(x)(i=1,…,n)分别是p在两个坐标图(Uα,hα)，(Uβ,hβ)下的(局部)坐标,即那麽它们之间的关系式可表为而ƒ关于x(j=1,2，…，n)具有直到k次的连续导数。k=0时,M是拓扑流形;k>0时,就是微分流形;k=ω时，是解析流形。C流形又常称为光滑流形。如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间，则称M为仿紧或紧致微分流形。如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式都大于零，则称这个流形是可定向的。球面是可定向的，麦比乌斯带是不可定向的。

同一拓扑流形可以具有本质上不同的微分结构。米尔诺(John Milnor)首先发现作为一个拓扑流形，七维球面上可有不同于标準微分结构的怪异微分结构。后来弗裏德曼(Michael Freedman)等得出如下的重要结果:四维欧氏空间中也有多种微分结构，这与其他维数的欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别。

类别

可微对应

设φ是从C流形M到C流形N的连续对应,如果对于N上的任意Cr函式ƒ,M上的函式ƒ。φ总是Cr的,则称φ是Cr可微对应，或简称Cr对应。如果φ是从M到N上的同胚，而且φ和φ都是C的，则称φ为微分同胚，此时也称M与N是微分同胚的微分流形。

对应的微分

设φ是从M到N的C对应。对M上点p的切向量x可以如下地定义N在点φ(p)处的切向量x┡:这个对应x→x┡用dφP表示,称为φ在点p处的微分。微分dφP是从切空间TP(M)到(N)的线性对应,有时也称为φ在切空间的诱导对应, 常用φ*P或φ*表示。利用对偶性，φ也自然地诱导了从余切空间到T坝的线性对应，常记为(dφP)或φ坝或φ。由张量积运算，φ还可以诱导对应点之间某些张量空间之间的线性对应。

子流形

设M和N是两个C流形，φ:M→N是C对应。如果微分dφP在M的每一点都是单射,则称φ是浸入，而φ(M)称为N的浸入子流形。如果浸入φ还是单射,则称为嵌入，此时φ(M)称为N的嵌入子流形。

张量场

微分流形上可以定义可微函式、切向量、切向量场、各种张量场等对象并建立其上的分析学，并可以赋予更复杂的几何结构以研究它们的性质。

光滑函式

流形M上的实数值连续函式f:M →R是一个光滑函式，如果对每一个相容的坐标卡ρ:U→M, f(ρ):U→R是一个U上的光滑函式。因为坐标卡之间的坐标变换是光滑对应，这是一个良好的定义。特别的，光滑函式可以看成一种0阶张量场。

向量场

设p∈M,M在点p处的一个切向量是指从F(M)到R的一个线性对应x，使得对于任意的ƒ，g∈F(M)，满足:对于在p点的切向量x1,x2和实数λ1,λ2,定义λ1x1+λ2x2如下: 那麽,点p处的切向量全体构成一个n维的实线性空间TP，TP称为在p处M的切空间或切向量空间(也记为TP(M))。如果(x，x，…，x)为点p处的局部坐标系，则由定义的n个独立的切向量，构成TP的一组基，称为自然标架(或坐标标架)。M的切向量全体构成以M为底空间的向量丛(见纤维丛)，称为M的切向量丛，简称切丛。M的切丛的一个截面称为M上的一个向量场。在局部坐标系中，向量场可表成的形式，式中ξ(x)是坐标(x)的C函式。TP的对偶空间称为M在点p处的余切空间，记为T坝。T坝中的元素称为余切向量,也称协变向量。M的余切向量全体构成M的余切向量丛，简称余切丛，它的截面称为M上的一次微分形式。 1=2

一般张量场

由切空间和余切空间通过张量积的运算可以得到M在点p处的各种(r,s)型张量,M的(r,s)型的张量全体构成张量丛，它的截面就是M上的一个(r,s)型张量场(见多重线性代数、张量)。

微分形式

在微分流形上还可以定义外微分形式(见外微分形式)。p次外微分形式(2)是一些微分的外积的线性组合，这些微分的外积是反对称的,即是p阶反对称协变张量,

M上p次外微分形式的全体构成一个实数域上的无限维向量空间E。对外微分形式可以进行加法运算(同次外微分形式可以相加),外积运算(p次外微分形式与q次外微分形式的外积是一个(p+q)次外微分形式)，还可以进行外微分运算及积分运算。在局部坐标下，外微分运算为

(3) 设ω∈E且dω =0,则称ω为闭形式。M上p次闭形式的全体构成E的一个子空间记为Z。设ω∈E,且ω=dσ(σ∈E，则称ω为正合形式。正合形式一定是闭形式。M上p次正合形式的全体也构成E的一个子空间记为B，B嶅Z。商空间 (4)称为p次德·拉姆上同调群(de Rham cohomology group)。

结构

我们可以在微分流形上赋予不同的几何结构(即一些特殊的张量场)。不同的几何结构就是微分几何不同的分支所研究的主要对象。

黎曼度量

主条目:黎曼几何

仿紧微分流形均可赋予黎曼度量(见黎曼几何)，且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了丰富的几何内容，就可以测量长度，面积，体积等几何量。

近复结构和复流形

参见:复流形

微分流形M上的一个近复结构是M的切丛TM的一个自同构，满足J·J=-1。如果近复结构是可积的，那麽我们就可以找到M上的全纯坐标卡，使得坐标变换是全纯函式。这时我们得到了一个复流形。

辛流形

参见:辛几何

微分流形上的一个辛结构是一个非退化的闭的二次微分形式。这样的流形成为辛流形。

四维流形

在拓扑学中四维是一个非常特殊的维数。譬如斯梅尔的庞加莱猜想的证明只套用于大于四维的维数，他的h-配变定理不能套用于四维流形。而弗裏德曼的对四维庞加莱猜想的证明则更复杂。而且人们发现，存在四维拓扑流形，在其上不能赋予任何微分结构。而四维欧式空间是唯一一个存在怪异微分结构的欧式空间。

对四维微分流形的研究中具有裏程碑意义的是英国数学家西蒙·唐纳森的工作。他的想法来源于理论物理中的规範场理论。他由此定义了被称为唐纳森不变数的四维微分流形的不变数。后来物理学家赛博格和爱德华·威腾将唐纳森不变数简化为一种更易于计算的不变数，后来被称作赛博格-威腾不变数(Seiberg-Witten invariants)。这些不变数都大大推进了人们对四维微分流形的理解。

而对于四维拓扑流形，许多问题还没有解决。其中最重要的是四维流形的光滑庞加莱猜测:(作为一个拓扑流形)四维球面上只存在标準的微分结构。