定义
在样本空间内有可测状态和随机变数根据法则所做的决策，此时若在乘积空间上有函式满足：，即对任意的，是非负可测函式，则被称为损失函式，表示状态下採取决策所对应的损失或风险。机器学习中，给定独立同分布（independent and identically distributed,iid）的学习样本
，和模型，损失函式是模型输出和观测结果间机率分布差异的量化：式中表示模型参数，上式右侧具体的量化方法视问题和模型而定，但要求满足损失函式的一般定义，即样本空间的非负可测函式。分类
回归问题
回归问题所对应的损失函式为L2损失函式和L1损失函式，二者度量了模型估计值
与观测值之间的差异：式中为真实值的权重，为真实值，为模型的输出。各类回归模型，例如线性回归、广义线性模型（Generalized Linear Model, GLM）和人工神经网路（Artificial Neural Network, ANN）通过最小化L2或L1损失对其参数进行估计。L2损失和L1损失的不同在于，L2损失通过平方计算放大了估计值和真实值的距离，因此对偏离观测值的输出给予很大的惩罚。此外，L2损失是平滑函式，在求解其最佳化问题时有利于误差梯度的计算；L1损失对估计值和真实值之差取绝对值，对偏离真实值的输出不敏感，因此在观测中存在异常值时有利于保持模型稳定。分类问题
分类问题所对应的损失函式为0-1损失，其是分类準确度的度量，对分类正确的估计值取0，反之取1：
0-1损失函式是一个不连续的分段函式，不利于求解其最小化问题，因此在套用可构造其代理损失（surrogate loss）。代理损失是与原损失函式具有相合性（consistency）的损失函式，最小化代理损失所得的模型参数也是最小化原损失函式的解。当一个函式是连续凸函式，并在任意取值下是0-1损失函式的上界时，该函式可作为0-1损失函式的代理函式。这里给出二元分类（binary classification）中0-1损失函式的代理损失：
| 名称 | 表达式 |
|---|---|
| 铰链损失函式（hinge loss function） | |
交叉熵损失函式（cross-entropy loss function） | |
指数损失函式（exponential loss function） |
铰链损失函式是一个分段连续函式，其在分类器分类完全正确时取0。使用铰链损失对应的分类器是支持向量机（Support Vector Machine, SVM），铰链损失的性质决定了SVM具有稀疏性，即分类正确但机率不足1和分类错误的样本被识别为支持向量（support vector）被用于划分决策边界，其余分类完全正确的样本没有参与模型求解。
交叉熵损失函式是一个平滑函式，其本质是信息理论（information theory）中的交叉熵（cross entropy）在分类问题中的套用。由交叉熵的定义可知，最小化交叉熵等价于最小化观测值和估计值的相对熵（relative entropy），即两者机率分布的Kullback-Leibler散度：
，因此其是一个提供无偏估计的代理损失。交叉熵损失函式是表中使用最广泛的代理损失，对应的分类器例子包括logistic回归、人工神经网路和机率输出的支持向量机。指数损失函式是表中对错误分类施加最大惩罚的损失函式，因此其优势是误差梯度大，对应的极小值问题在使用梯度算法时求解速度快。使用指数损失的分类器通常为自适应提升算法（Adaptive Boosting, AdaBoost），AdaBoot利用指数损失易于计算的特点，构建多个可快速求解的“弱”分类器成员并按成员表现进行赋权和叠代，组合得到一个“强”分类器并输出结果。
套用
案例一
某个工厂人员的产出，以每小时多少元来计算，而损失函式所显示的，是产出以室内通风条件而改变的情形。厂内工作的每个人，都有自己的损失函式。为了简化说明，假设每个人的损失函式均为一条抛物线，其底部一点代表产出值最大时的通风条件，把所有人员的损失函式进行叠加，公司整体的损失函式也必然是一条抛物线。如果通风条件偏离这个最佳水準，就会有额外损失发生。该抛物线与横轴相切时，切点的左右各有一小段与横轴几近重合。也就是说，有最适点偏离一小短距离，损失小到可以忽略不计。因此，当室内通风条件稍稍偏离均衡点，发生的损失可以忽略不计。但是远离均衡点时，总是有人必须支付这损失。如果我们能够导出有具体数字的损失函式，我们就可以计算出最优均衡点，在均衡点中最适合的通风条件如何，以及达到要求的费用支出是多少。
案例二
以赶火车作为符合规格的例子。假设我们的时间价值为每分钟n元，下图左边的斜线是损失线的斜率；早一分钟到达月台，将让我们损失n元，早两分钟到达损失2n元。另一方面，如果没有赶上火车，我们的损失是M元。迟到半分钟或迟到5分钟损失一样，损失函式直接由零跳到M。
当然问题也可複杂化，例如火车每天离站的时间也有变化，所以也可以画出一个分配图。火车到站时间三个标準差的界限可能是8秒。把问题这样複杂化，对于我们了解和套用损失函式并没有特别大的帮助，因此我们就说到这里。 另一个例子，是参加星期日早上11点15分的礼拜时所碰到的停车问题。教堂的停车场最大负荷是停放50辆车子，但这些车位在10点50分左右仍然客满，因为作完上一场礼拜的车主仍在喝咖啡。等他们一离开，这些空位马上就会被排成长龙等待的车队填满。如果你想占到一个车位，不得不早早去排队。那些晚到的人在这里找不到车位，只能到街上去找，但实际上往往无功而返。所以，上策还是提早一点去等，承受等待的损失而能占到位置。
这项理论也可以套用到任何计画的截止时间上。某人要求必须在截止日期前完成工作，万一未能赶上这个时间，势将使计画延误或出错。为了能準时完成，可以拟定工作内容与步骤的纲要。把个步骤的截止日期 设 定一段期间要比设定为固定的从容，而且有时间作最后的修订，可能把计画做得更好。
