数集

定义

数集类型

数学中一些常用的数集及其记法：

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*，Z^+或N+；

所有负整数组成的集合称为负整数集，记作Z^-；

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；

全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

全体实数组成的集合称为实数集，记作R；

全体虚数组成的集合称为虚数集，记作I；

全体实数和虚数组成的複数的集合称为複数集，记作C。

注意：^{+表示该数集中的元素都为正数，-表示该数集中的元素都为负数，*表示在剔除该数集的元素0（例如，R*表示剔除R中元素0后的数集。即R*=R\{0}=R-∪R+=（-∞，0）∪（0，+∞）。）。}

数集与数集之间的关係：

• N*⊊N⊊Z⊊Q⊊R⊊C，

• Z*=Z^+∪Z-，

• Q={m/n|m∈Z,n∈N*}={分数}={循环小数},

• R∪I=C，

• R*=R\{0}=R^{-∪R+=（-∞，0）∪（0，+∞），}

• R=R^{-∪R+∪{0}=R*∪{0}={小数}=Q∪{无理数}={循环小数}∪{非循环小数}。}

性质

1、确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。

2、互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。

3、无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关係，定义了序关係后，元素之间就可以按照序关係排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。

数集的起源

数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、採集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0。自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q。如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合併在一起，构成整数集Z。

有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数。所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合併在一起，构成实数集R。因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集。

因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像