施瓦兹空间

施瓦兹空间

施瓦兹空间(Schwarz space)又称急降函式空间，是一类光滑函式空间。施瓦兹创建的分布理论是泛函分析的又一重要进展，而施瓦兹空间是分布理论中的一类重要基本函式空间。它的引入是实际需要的驱动，而并非是为了纯粹数学理论的发展与完善。为了求解卷积方程，施瓦兹通过傅立叶变换将其转化为乘积方程。这就需要定义分布的傅立叶变换，进而他引入了施瓦兹空间，从而解决了卷积方程的求解问题。他的这一研究策略蕴含着分析代数化的思想，这为做数学研究提供了一种可资借鉴的思路。这一策略也揭示出高度抽象的纯粹数学不但没有脱离实际，反而与实际问题有着密不可分的关係，而这也正是20世纪数学发展的特徵之一。施瓦兹的这一工作丰富了广义函式理论，发展了经典的傅立叶变换，求解了卷积方程，给出了研究线性偏微分方程的新思路。

    • 中文名：施瓦兹空间
    • 外文名：Schwarz space
    • 别名：急降函式空间
    • 属性：一类光滑函式空间
    • 提出者：施瓦兹
    • 相关概念：傅立叶变换、卷积方程等

定义

施瓦兹空间又称急降函式空间，定义为

这里

{

为

上具有直到m 阶在内的连续偏导数的函式}，

在S 上引人半範数族

其中

这样，S成为一个弗雷歇空间。

我们也赋予

半範数

如下

则成为弗雷歇空间，并把它化为

。

为了方便起见，约定微分运算元D 中已带有因子

的傅立叶变式

定义为

其中

记

称映射F为S上的傅立叶变换，傅立叶变换也记为

。

施瓦兹空间上傅立叶变换的重要性质

(1) 若

则

且

(2) 若

则

而且，若在S中

则必有

(在S 中)，因此傅立叶变换

是S到自身的连续线性映射。

(3) 傅立叶变换F的逆变换公式

对于

傅立叶变换反演公式为

其中

并且

为拓扑同构，进而，

故

是

的逆变换，一对一，且双方连续。又据反射运算：

是S到S上的同构，从而得到

为拓扑同构。

(4) 设

则

1.

2.

3.

4. 设

则

且

5. （帕塞瓦尔Parseval等式）若

则

或

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