最小二乘法
历史简介
1801年，义大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟蹤观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测资料开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因裏希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的着作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的最佳化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。（来自于wikipedia）
原理
在我们研究两个变数（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的资料（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；将这些资料描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。
Yj= a0 + a1 X （式1-1)
其中：a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1，套用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用（式1-1）计算值（Yj=a0+a1X）的离差（Yi-Yj）的平方和〔∑（Yi - Yj）2〕最小为“最佳化判据”。
令：φ = ∑（Yi - Yj）2 （式1-2)
把（式1-1）代入（式1-2）中得：
φ = ∑（Yi - a0 - a1 *Xi)2 （式1-3)
当∑（Yi-Yj）平方最小时，可用函式 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
（式1-4)
（式1-5)
亦即：
m a0 + （∑Xi ) a1 = ∑Yi （式1-6)
（∑Xi ) a0 + （∑Xi2 ) a1 = ∑（Xi,Yi) （式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：
a0 = （∑Yi) / m - a1（∑Xi) / m （式1-8)
a1 = [m∑Xi Yi - （∑Xi ∑Yi)] / [m∑Xi2 - （∑Xi)2 )] （式1-9)
这时把a0、a1代入（式1-1）中， 此时的(式1-1）就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归资料点（x1,y1. x2,y2...xm,ym），为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标準偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。
R = [∑XiYi - m （∑Xi / m）（∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m （∑Xi / m)2][∑Yi2 - m （∑Yi / m)2]} （式1-10) *
在（式1-1）中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。
公式
最小二乘法公式
注：以下“平”是指某参数的算数平均值。如：X平——x的算术平均值。
1、∑（X--X平）（Y--Y平）=
∑（XY--X平Y--XY平+X平Y平）=
∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=
∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平；
2、∑（X --X平）^2=
∑（X^2--2XX平+X平^2)=
∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2；
3、Y=kX+b
k=（（XY）平--X平*Y平）/（（X^2）平--(X平）^2），
=Y平--kX平；
X平=1/n∑Xi，
(XY）平=1/n∑XiYi；
拟合
对给定资料点{(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m），在取定的函式类Φ 中，求p(x）∈Φ，使误差的平方和E^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 {(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m）的距离平方和为最小的曲线y=p(x）。函式p(x）称为拟合函式或最小二乘解，求拟合函式p(x）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
矩阵形式
Ax=b，其中A为nxk的矩阵，x为kx1的列向量，b为nx1的列向量。如果n>k（方程的个数大于未知量的个数），这个方程系统称为Over Determined System，如果n 正常来看，这个方程是没有解的，但在数值计算领域，我们通常是计算 min ||Ax-b||，解出其中的x。比较直观的做法是求解A'Ax=A'b，但通常比较低效。当A的秩小于k时，有无数多个最小二乘解，若A的秩=k ① 一次函式使用polyfit（x,y,1） ②多项式函式使用 polyfit（x,y,n），n为次数 拟合曲线 x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]， y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。 解：MATLAB程式如下： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; =polyfit(x,y,2) x1=0.5:0.05:3.0; y1=polyval(p,x1); lot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 计算结果为： =0.5614 0.8287 1.1560 即所得多项式为y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560 ③非线性函式使用 lsqcurvefit(fun,x0,x,y) 交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变数之间的定量关系，推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点，所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。交通发生预测通常有两种方法：回归分析法和聚类分析法。 回归分析法是根据对因变数与一个或多个自变数的统计分析，建立因变数和自变数的关系，最简单的情况就是一元回归分析，一般式为：Y=α+βX式中Y是因变数，X是自变数，α和β是回归系数。若用上述公式预测小区的交通生成，则以下标 i 标记所有变数；如果用它研究分区交通吸引，则以下标 j 标记所有变数。而运用公式的过程中需要利用最小二乘法来求解，上述公式中的回归系数根据最小二乘法可得： 其中，式中的X拔是规划年的自变数值，Y拔是规划年分区交通生成（或吸引）预测值 实现
运用
