基本介绍
梯形（trapezium)是指只有一组对边平行的四边形（叫作梯形）。平行的两边叫做梯形的底边，也可以单纯的认为上面的一条叫上底，下面一条叫下底。不平行的两边叫腰；两底之间的公垂线段叫梯形的高。
梯形图形性质
①梯形的上下两底平行；
②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。
③等腰梯形对角线相等。
判定
1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
辅助线
1．作高（根据题目而确定）；
2．平移一腰；
3．平移对角线；
4．反向延长两腰交于一点；
5．取一腰中点，另一腰两端点连线并延长；
6． 取两底中点，过一底中点做两腰的平行线。
7. 取两腰中点，连线，作中位线。
特殊图形
等腰
两腰相等的梯形叫做等腰梯形（isosceles trapezium ）
性质等腰梯形
1．等腰梯形的两条腰相等。
2．等腰梯形在同一底上的两个底角相等。
3．等腰梯形的两条对角线相等。
4．等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）。
判定
①两腰相等的梯形是等腰梯形；
②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
③对角线相等的梯形是等腰梯形；
直角
定义
一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
性质
直角梯形有两个角是直角。
判定
有两个内角是直角的梯形是直角梯形。
中位线
定理
平行于两底并等于上底、下底和的一半。
面积公式
梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2， 用字母表示：S=（a+b）×h÷2
变形1：h=2s÷（a+b）；变形2：a=2s÷h-b；变形3：b=2s÷h-a。
另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。
对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。
字母公式：（A+B)乘H除2
梯形公式
（上底+下底）×高÷2， 用字母表示：S=（a+b）×h÷2
套用实例
例一、如图，已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=DB，求证：四边形ABCD是等腰梯形。
梯形证明：过点A作AE∥DC交BC边于点E．
∵AB=CD，AC=DB，BC=CB，
图∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB
又∵AE∥DC，
∴∠AEB=∠DCB
∴∠ABC=∠AEB ，∴AB=AE，
∴四边形AECD是平行四边形．
∴AD∥BC．
又AB=DC，且AD≠BC，
∴四边形ABCD为等腰梯形．
点评：
判定一个任意四边形为等腰梯形，如果不能直接运用等腰梯形的判定定理，一般的方法是通过作辅助线，将此四边形分解为熟悉的多边形，此例就是通过作平行线，将四边形分解成为一个平行四边形和一个等腰三角形．
例 2
如图（1），△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线。求证：四边形EBCD是等腰梯形。
分析：欲证四边形EBCD是等腰梯形，解题思路是证ED//BC，BE=CD，由已知条件易证△BCD≌△CBE得到EB=DC，从而AE=AD，运用等腰三角形的性质可证ED//BC。
图一证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠ECB=1/2∠ABC，
图（1）
∴△EBC≌△DCB（A.S.A），
∴BE=CD，
∴AB－BE=AC－CD，即AE=AD．
∴∠ABC=∠AED，∴ED//BC，
又∵EB与DC交于点A，即EB与DC不平行，
∴四边形EBCD是梯形，又BE=DC，
∴四边形EBCD是等腰梯形．
点评：本题的解题关键是证明ED//BC，EB=DC，易错点是忽视证明EB与DC不平行．
