正弦公式

介绍

Sine theorem

正弦公式，即为正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恆量，是此三角形外接圆的半径的两倍）

这一定理对于任意三角形ABC，都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

R为三角形外接圆半径

证明

步骤1.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连线DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关係式。

扩展

一.三角形面积公式：

1.海伦公式:

设P=(a+b+c)/2

S△=根号下P(P-a)(P-b)(P-c)

解释:假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

2. S△ABC=(ab/2)·sinC=(bc/2)·sinA=(ac/2)·sinB=abc/(4R)[R为外接圆半径]

3.S△ABC=ah/2

二. 正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;