海伦公式

原理简介

​中国宋代的数学家叶汇淳也提出了"三斜求积术"，它与海伦公式基本一样。

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得:

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式裏的p为半周长:

p=(a+b+c)/2

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注1:"Metrica"(《论》)手抄本中用s作为半周长，所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

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由于任何n边的多边形都可以分割成(n-2)个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明过程

证明⑴

与海伦在他的着作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明⑵

中国宋代的数学家秦九韶也提出了"三斜求积术"。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式"底乘高的一半"，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋，中国着名的数学家秦九韶提出了"三斜求积术"。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。"术"即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为"实"，作1作为"隅"，开平方后即得面积。

所谓"实"、"隅"指的是，在方程px 2=q,p为"隅"，q为"实"。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

当P=1时，△ 2=q,

△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得:

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为"海伦-秦九韶公式"。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.

根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:

已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积

这裏用海伦公式的推广

S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边)

代入解得s=8√ 3

证明⑶

在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r

∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

=ptanA/2tanB/2tanC/2

=r

∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

证明⑷

通过正弦定理:和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)

推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要套用的有:

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)/2，则

S△ABC

=1/2 aha

=1/2 ab×sinC

= r p

= 2R^2sinAsinBsinC

= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是着名的海伦公式，在希腊数学家海伦的着作《测地术》中有记载。关于三角形的面积计算公式在解题中主要套用的有:

设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)，则

s△abc = aha= ab×sinc = r p

= 2r2sinasinbsinc =

=

其中，s△abc = 就是着名的海伦公式，在希腊数学家海伦的着作《测地术》中有记载。

海伦公式在解题中有十分重要的套用。

一、 海伦公式的变形

s=

= ①

= ②

= ③

= ④

= ⑤

二、 海伦公式的证明

证一 勾股定理

分析:先从三角形最基本的计算公式s△abc = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明:如图ha⊥bc，根据勾股定理，得:

x = y =

ha = = =

∴ s△abc = aha= a× =

此时s△abc为变形④，故得证。

证二:斯氏定理

分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△abc边bc上任取一点d，

若bd=u，dc=v,ad=t.则

t 2 =

证明:由证一可知，u = v =

∴ ha 2 = t 2 = -

∴ s△abc = aha = a ×

=

此时为s△abc的变形⑤，故得证。

证三:余弦定理

分析:由变形② s = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosc 对其进行证明。

证明:要证明s =

则要证s =

=

= ab×sinc

此时s = ab×sinc为三角形计算公式，故得证。

证四:恆等式

分析:考虑运用s△abc =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑套用三角函式的恆等式。

恆等式:若∠a+∠b+∠c =180○那麽

tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1

证明:如图，tg = ①

tg = ②

tg = ③

根据恆等式，得:

+ + =

①②③代入，得:

∴r2(x+y+z) = xyz ④

如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x

∴x = 同理:y = z =

代入 ④，得:r 2 · =

两边同乘以 ，得:

r 2 · =

两边开方，得:r · =

左边r · = r·p= s△abc 右边为海伦公式变形①，故得证。

证五:半角定理

半角定理:tg =

tg =

tg =

证明:根据tg = = ∴r = × y ①

同理r = × z ② r = × x ③

①×②×③，得:r3 = ×xyz

重要的套用。

一、 公式的证明

证一:勾股定理

如右图

  勾股定理证明海伦公式

。

证二:斯氏定理

如右图。

证三:余弦定理

  斯氏定理证明海伦公式

分析:由变形② S = 可知，运用余弦定理 c^2 = a^2 + b^2 -2abcosC 对其进行证明。

证明:要证明S =

则要证S = ab×sinC

此时S = (ab×sinC)/2为三角形计算公式，故得证。

证四:恆等式

  恆等式证明⑴

  恆等式证明⑵

证五:半角定理

∵由证一，x = = -c = p-c

y = = -a = p-a

z = = -b = p-b

∴ r3 = ∴ r =

∴S△ABC = r·p = 故得证。

二、 公式的推广

由于在实际套用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=，则S四边形=

现根据猜想进行证明。

证明:如图，延长DA，CB交于点E。

设EA = e EB = f

∵∠1+∠2 =180° ∠2+∠3 =180°

∴∠1 =∠3 ∴△EAB≌△ECD

∴ = = =

解得:e = ① f = ②

由于S四边形ABCD = S△EAB

将①，②跟b = 代入公式变形④，得到:

∴S四边形ABCD =

所以，海伦公式的推广得证。

例题

C语言版:

如图四边形ABCD内接于圆O中，SABCD =,AD = 1,AB = 1,CD = 2.

求:四边形可能为等腰梯形。

解:设BC = x

由海伦公式的推广，得:

(4-x)(2+x)2 =27

x4-12x2-16x+27 = 0

x2(x2-1)-11x(x-1)-27(x-1) = 0

(x-1)(x3+x2-11x-27) = 0

x = 1或x3+x2-11x-27 = 0

当x = 1时，AD = BC = 1

∴ 四边形可能为等腰梯形。

在程式中实现(VBS):

dim a,b,c,p,q,s

a=inputbox("请输入三角形第一边的长度")

b=inputbox("请输入三角形第二边的长度")

c=inputbox("请输入三角形第三边的长度")

a=1*a

b=1*b

c=1*c

p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)

q=sqr(p)

s=(1/4)*q

msgbox("三角形面积为"&s),,"三角形面积"

在VC中实现

#include

#include

main()

int a,b,c,s;

printf("输入第一边\n");

scanf("%d",&a);

printf("输入第二边\n");

scanf("%d",&b);

printf("输入第三边\n");

scanf("%d",&c);

s=(a+b+c)/2;

printf("面积为:%f\n",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));

C#版:

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Text;

namespace CST09078

class Program

static void Main(string[] args)

double a,b,c,p,s;

Console.WriteLine("输入第一条边的长度:\n");

a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.WriteLine("输入第二条边的长度:\n");

b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.WriteLine("输入第三条边的长度:\n");

c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

p =(a+b+c)/2;

s = Math.Sqrt(p*(p - a)*(p - b)*(p - c));

Console.WriteLine("我算出来的面积是{0}",s);

Console.Read(); SB

  海伦公式

pascal版:

program x;

var

a,b,c:real;

function xb(x,y,z:real):real;

var

p,s:real;

begin

p:=(x+y+z)/2;

s:=sqrt(p*(p-x)*(p-y)*(p-z));

xb:=s;

end;

begin

readln(a,b,c);

writeln(xb(a,b,c):0:2);

end.