背景
艾萨克·牛顿（Isaac Newton）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和鍊金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际製造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，“牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。数学方面牛顿也贡献颇多，以他和莱布尼兹共同发明的微积分最为重要。除此以外，他还发现了了二项式展开定理、牛顿恆等式等重要定理。
定义
牛顿恆等式叙述如下：
设F(X)=0的n个根
.对于记则有恆等式的证明
对于一元二次方程，即：
F%5Cleft(x%5Cright)%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%2Ca%5Cne0%5Cleft(1%5Cright).
牛顿恆等式，设
为方程两根，对于，则有下面是（2）（3）式的证明：
（2）的证明：
由于
为方程二根，易得当k>2时，分别以
乘上这两个式子，得ax%5Ek_1%2Bbx%5E%7Bk-1%7D_1%2Bcx%5E%7Bk-2%7D_1%3D0%2Cax%5Ek_2%2Bbx%5E%7Bk-1%7D_2%2Bcx%5E%7Bk-2%7D_2%3D0.
相加两个上面两式，即可得（2）。
（3）的证明：
由韦达定理：
所以即（3）的一式成立，又因为
所以即（3）的二式成立。对于n>2其他情况，可以类比（2）（3）式加以证明恆等式套用
一、证明韦达定理
由（3）式证明即可以看出：通过韦达定理既然可以推出（3）式，那么牛顿恆等式（3）式与韦达定理是等价的。通过逆推就可以证明韦达定理的正确性。
二、其他有用推论
1，通过方程1係数a，b，c，即可逐个确定
2， 如
则3，通过牛顿恆等式，也可以由a，b，c的奇偶性推知
的奇偶性。
