简介
特徵值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的套用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特徵值m的特徵向量或本徵向量，简称A的特徵向量或A的本徵向量。定义
基本定义
设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特徵值，x是A属于特徵值λ的特徵向量。
A的所有特徵值的全体，叫做A的谱，记为
.广义特徵值
如将特徵值的取值扩展到複数领域，则一个广义特徵值有如下形式：Aν=λBν
其中A和B为矩阵。其广义特徵值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特徵值中存在的複数项，称为一个“丛(pencil)”。
若B可逆，则原关係式可以写作
，也即标準的特徵值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特徵值问题应该以其原始表述来求解。如果A和B是实对称矩阵，则特徵值为实数。这在上面的第二种等价关係式表述中并不明显，因为
A矩阵未必是对称的。计算方法
求n阶矩阵A的特徵值的基本方法：
根据定义可改写为关係式
，为单位矩阵（其形式为主对角线元素为λ- ，其余元素乘以-1）。要求向量具有非零解，即求齐次线性方程组有非零解的值。即要求行列式。 解次行列式获得的值即为矩阵A的特徵值。将此值回代入原式求得相应的，即为输入这个行列式的特徵向量。求矩阵的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
第一步：计算的特徵多项式；
第二步：求出特徵方程的全部根，即为的全部特徵值；
第三步：对于的每一个特徵值，求出齐次线性方程组：
的一个基础解系，则的属于特徵值的全部特徵向量是
（其中是不全为零的任意实数）．
[注]：若是的属于的特徵向量，则也是对应于的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一确定．反之，不同特徵值对应的特徵向量不会相等，亦即一个特徵向量只能属于一个特徵值.
基本套用
求特徵向量
设A为n阶矩阵，根据关係式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特徵多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特徵值（包括重特徵值）。将求出的特徵值λi代入原特徵多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特徵值λi的特徵向量。
判断相似矩阵的必要条件
设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：1、A的特徵值与B的特徵值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；
2、A的特徵多项式与B的特徵多项式相同——|λE-A|=|λE-B|；
3、A的迹等于B的迹——trA=trB/
，其中i=1,2,…n（即主对角线上元素的和）；4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|；
5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。
因而A与B的特徵值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。
判断矩阵可对角化的充要条件
矩阵可对角化有两个充要条件：1、矩阵有n个不同的特徵向量；2、特徵向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特徵值可验证（一重相当于没有重根）。
若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特徵值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特徵值可以换序，但都存在由对应特徵向量顺序组成的可逆矩阵P使
=Λ）更多套用
量子力学：
设A是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过A变换后所得到的向量和X仅差一个常数因子，即AX=kX ，则称k为A的特徵值，X称为A的属于特徵值k的特徵向量或特徵矢量(eigenvector)。如在求解薛丁格波动方程时，在波函式满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值，这些值就是正的本徵值。
设M是n阶方阵， I是单位矩阵， 如果存在一个数λ使得 M-λI 是奇异矩阵（即不可逆矩阵， 亦即行列式为零）， 那么λ称为M的特徵值。
在A变换的作用下，向量ξ仅仅在尺度上变为原来的λ倍。称ξ是A 的一个特徵向量，λ是对应的特徵值（本徵值）,是（实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量，当然，其他理论领域也有这一现象。
