基本介绍
如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那麽集合A叫做集合B的真子集。
一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。
记作： A⊆B（或B⊇A）
读作：“A包含于B”（“B包含A”）
而真子集是对于子集来说的
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素X∈B，且元素X不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集。
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
相关介绍
真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等
子集、真子集与非空子集的计算
若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2^n（即2的n次方），且有2^n-1个真子集，2^n-2个非空真子集
证：设元素编号为1, 2, ... n，每个子集对应一个长度为n的二进位数。
规定数的第 i 位为1表示元素i在集合中，0表示元素 i 不在集合中。
即00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进位]
一共有2^n个数，因此对应2^n个子集
去掉11...1(即全1，表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集，再去掉00...0(即全0，表示空集）则有2^n-2个非空真子集
比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3
111 <--> {a, b, c} --> 即集合A
110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中
101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中
... ...
001 <--> { , , c}
000 <--> { , , } --> 即空集
命题1：空集是任意集合的子集。
证明：给定任意集合 A，要证明∅是A 的子集。这要求给出所有∅的元素是A 的元素；但是，∅没有元素。
对有经验的数学家们来说，推论 “∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素”是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为∅没有任何元素，如何使“这些元素”成为别的集合的元素？换一种思维将有所帮助。
为了证明∅不是A 的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A 的子集。
这个命题说明：包含是一种偏序关系。
命题2：若 A，B，C是集合，则：
自反性: A⊆ A反对称性: A⊆ B且 B⊆ A当且仅当A= B传递性: 若 A⊆ B且 B⊆ C则 A⊆ C
这个命题说明：对任意集合 S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。
命题3：若 A，B，C是集合 S的子集，则：
存在一个最小元和一个最大元： ∅ ⊆ A⊆ S(that ∅ ⊆ Ais Proposition 1 above.)存在并运算: A⊆ A∪B若 A⊆ C且 B⊆ C则A∪B⊆ C存在交运算: A∩B⊆ A若 C⊆ A且 C⊆ B则 C⊆ A∩B
这个命题说明：表述 "A⊆ B" 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。
命题4: 对任意两个集合 A和 B，下列表述等价：
A⊆ B A∩ B= A A∪ B= B A− B= B′ ⊆ A′
